$\lim_{n\to\infty}a_n \neq 0$ entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverge

Question

Hace $\lim_{n\to\infty}a_n \neq 0 \rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n$ diverge se mantiene si $a_n$ tiene también términos negativos?

Puedo demostrar que si $a_n \geq 0$ entonces la implicación se mantiene, pero no estoy seguro de cómo demostrar/desmentir el caso cuando se permiten términos negativos

Answer 1

Supongamos que la serie converge a un límite $\ell$ . Entonces $A_n = \sum_{k=1}^n a_k$ y $B_n = \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ ambos convergen a $\ell$ . Pero entonces $$ a_n = A_n - B_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \ell - \ell = 0. $$ (utilizando las operaciones habituales sobre los límites: suma, resta).

Answer 2

Si $\sum_{n \ge 0} a_n$ es una serie convergente, entonces $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ . Su afirmación es la inversa a ésta. La prueba de esto es muy sencilla: si la secuencia $S_N = \sum_{n=0}^N a_n$ es convergente (es decir, si la serie converge), entonces $S_N$ es una secuencia de Cauchy, por lo que

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists M \text{ such that } \forall N,N' \ge M, \quad |S_N - S_{N'}| < \varepsilon. $$ Recogiendo $n = N' = N-1$ más grande que $m = M+1$ Esto demuestra que $$ \forall \varepsilon > 0, \exists m \text{ such that } \forall n \ge m, \quad |a_n| < \varepsilon. $$ desde $S_n - S_{n-1} = a_n$ . En otras palabras, $a_n \to 0$ .

Espero que eso ayude,