Ecuaciones de onda con condición de contorno Dirichlet

Question

En su libro capítulo 4, Fattorini escribió :

consideramos la ecuación $$u''(t)=A(\beta)u(t)$$ donde $$Au= \sum_{i,j=1}^m \frac{\partial}{\partial x_i}\left(a_{i,j}(x) \frac{\partial u}{\partial x_j}\right)+\sum_{i=1}^m b_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i}+c(x)u$$ $x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ y $a_{ij}(x),b_j(x),c_j(x)$ se definen en un dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ . $A(\beta)$ denota la restricción de $A$ obtenida mediante una condición de contorno $\beta$ en la frontera $\partial\Omega$ de la forma $$u(x)=0 \quad (x \in \partial \Omega).$$ No entendí la parte que $A(\beta)$ es la restricción de $A$ ... qué es $A(\beta)$ explícitamente en términos de $A$ .

Answer 1

La parte de la restricción (también conocida como realización) significa que sólo se define (o restringe) el dominio del operador diferencial en un subespacio. Por supuesto, cuando se cambia el dominio se cambia el operador. Por ejemplo, en el caso de la condición de Dirichlet homogénea $\beta u=\gamma u=0$ . Por lo tanto, $D(A(\beta))=H^1_0(\Omega)$ y $A(\beta)u=Au$ . Del mismo modo, para la condición de Neumann, se tiene $\beta u= \partial_n u=0$ , $D(A)=\{u\in H^1(\Omega): \partial_n u=0\}$ y $A(\beta)u=Au$ .

Answer 2

Por definición, $Au$ es un operador diferencial. Está definido por la expresión que determina $(Au)(x)$ en términos de funciones de coeficiente y derivadas de $u$ en $x$ . Aquí no tiene sentido hablar de condiciones de contorno.

Se puede $A$ también se interpreta como un mapeo entre espacios de funciones. Entonces las condiciones de contorno se codificarían en el dominio de $A$ . De esta manera, $A$ puede cambiar si se aplican diferentes condiciones de contorno. Es decir, el dominio de definición de $A$ cambios.