¿Cómo llega Thomas Minka a esta respuesta para la siguiente pregunta?

Question

En este documento por Thomas Minka el autor da el siguiente ejemplo :

Suponga que usted, un bostoniano, ha participado en la lotería de New Hampshire junto con 999 personas de New Hampshire. El premio se otorgará exactamente a una de las 1000 personas. Por pura suerte, obtiene una impresión del ordenador con una lista de 998 participantes; cada nombre está marcado como "sin premio", y el suyo no está entre ellos. ¿Deben aumentar sus posibilidades de ganar de 1/1000 a 1/2? En circunstancias normales, sí. Pero suponga que, mientras examina ansiosamente la lista, descubre la consulta que la produjo: "Imprima los nombres de los 998 residentes de New Hampshire que no hayan ganado". Como usted es de Boston, es imposible que la lista le incluya a usted. Por lo tanto, es completamente irrelevante para usted; su probabilidad de ganar sigue siendo de 1/1000.

¿No entiendo por qué llega a 1/1000? Si reduzco el número de personas de Hampshire a 2. Puedo representar el conjunto total de eventos por $ \Omega = \{ (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}$ . Con $(Boston,Hampshire1,Hampshire2)$ y un $1$ indicando una victoria para la persona en particular.

Ahora bien, si tengo una lista que dice $Hampshire1$ perdido, claramente el conjunto de todos los eventos posibles se reduce a : $ \Omega = \{ (1,0,0);(0,0,1)\}$ . Por lo tanto, la probabilidad de ganar dada esa lista sí cambia... ¿o no?

Answer 1

El evento del particular $998$ La aparición de New Hampshirites en la lista es* independiente del hecho de que gane el bostoniano, por lo que la probabilidad condicional de que gane el bostoniano es igual a la probabilidad marginal de que gane el bostoniano.

En tu caso simplificado (3 jugadores), condicionas a "Hampshire 1 perdió" pero la información que tenemos en realidad es "Una búsqueda informática de un jugador perdedor de Hampshire devolvió Hampshire 1". Esto es análogo a la El problema de Monty Hall - pensar en ganar = ganar, el bostoniano = la puerta que elegimos originalmente, la lista que descubrimos = las puertas abiertas por el anfitrión del juego. Descubrir* la lista fue producido por la consulta $998$ Los New Hampshirites no ganadores = los supuestos estándar de Monty Hall, es decir, el anfitrión siempre revela una puerta no seleccionada inicialmente que no contiene el premio.

*Algunas advertencias

Algunos supuestos de modelización que son (supongo) intencionados pero que podrían ser discutidos.

Suponemos que el ordenador devuelve los 998 New Hampshirites eligiendo al azar el que hay que dejar fuera (si no lo hay). En principio, debido a algunas peculiaridades del sistema de bases de datos, la respuesta a esta consulta podría filtrar alguna información sobre el ganador. Por ejemplo, si la consulta contiene los 998 primeros en orden alfabético, el análisis de la distribución de los nombres podría dar alguna información sobre si es probable que el descartado sea el último (en cuyo caso la probabilidad de que gane el bostoniano aumentaría).

Además, asumimos que el evento "Encontramos estos resultados impresos de esta consulta" puede ser manejado igual que el evento "Los resultados de esta consulta son..." Esto requiere que la parte "Encontramos" sea independiente de todo - puede ser que alguien ejecute la consulta para $998$ no ganadores de New Hampshirites con la intención de obtener la lista de todos los no ganadores.