¿Es correcto mi razonamiento probabilístico?

Question

Ejercicio teórico de Sheldon Ross

Un frasco contiene $n$ patatas fritas. Supongamos que un niño saca sucesivamente fichas del tarro, sustituyendo cada vez la que ha sacado antes de sacar otra. El proceso continúa hasta que el niño saca una ficha que ya ha sacado anteriormente. Sea $X$ denota el número de extracciones antes de parar, y calcula su función de masa de probabilidad.

¿Es correcto mi razonamiento?

$ P(X=1) = \frac{1}{n}$

$ P(X=2) = \frac{n-1}{n}\frac{1}{n}$

...

$ P(X=i) = (\frac{n-1}{n})^{i-1}\frac{1}{n}$

Answer 1

Sugerencia: empezar con algo pequeño $n$ Por ejemplo $n=2$ o $n=3$ .

Cuando $n=2$ tenemos:

$\mathbb{P}[X=1]=0$ (no puede haber una ficha repetida cuando no hay fichas anteriores)

$\mathbb{P}[X=2]=\frac{1}{2}$ (La posibilidad de volver a sacar la ficha tomada en el turno 1 es $\frac{1}{2}$ --que sólo hay un chip más.

$\mathbb{P}[X=3]=\frac{1}{2}$ (Si $X!=2$ En los dos primeros turnos tomamos dos fichas distintas (lo que sucede con el $\frac{1}{2}$ ); no quedan fichas "sin girar", por lo que no seleccionamos una repetición con probabilidad 1.

Answer 2

La probabilidad de que alguien pueda sacar $X$ monedas de la bolsa sin sacar una moneda ya extraída viene dada por la relación de recurrencia

$$\mathbb{P}(1)=\frac{1}{n};$$ $$\mathbb{P}(X)=\frac{n-X+1}{n}\mathbb{P}(X-1).$$

El razonamiento aquí es que, en el $X^{\text{th}}$ sorteo, habrá $n-X$ monedas que aún no habremos sacado de $n$ monedas.

Por lo tanto, por inducción, encontramos que

$$\mathbb{P}(X)=\frac{(n-1)!}{(n^X)(n-X)!}.$$