Obligado a expresarse

Question

Dejemos que $x,y\in\mathbb{R^n}$ et $K>0$ demostrar que $$ \frac{2K||x-y||_2^2}{ (1+K||x||_2^2)(1+K||y||_2^2) } <2 $$

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Lo que he conseguido hasta ahora es:

$$ =\frac{8K||x||_2^2}{(1+K||y||_2^2)^2} $$

He intentado varias cosas como hacer una distinción de casos en $K$ o utilizando los límites $(1+Kx^2)^2\geq (1+Kx^2)\geq Kx^2$ Pero nunca llego a estar por debajo del límite $2$ .

Answer 1

$2K \| x - y \|^{2} \leq 2(1+K \|x\|^{2} )(1 + K \|y\| ^{2})$

Si y sólo si

$K \|x-y\| ^{2} \leq 1 + K (\|x\|^{2} + \|y\|^{2}) + K^{2} \|x\|^{2} \|y\|^{2}$

Tenemos que $ K\|x-y\|^{2} \leq K(\|x\| + \|y\|)^{2} = K(\|x\|^{2} + 2\|x\| \|y\| + \|y\|^{2})$

Y $K(\|x\| + \|y\|)^{2} = K\|x\|^{2} + 2K\|x\| \|y\| + K\|y\|^{2} \leq 1 + K (\|x\|^{2} + \|y\|^{2}) + K^{2} \|x\|^{2} \|y\|^{2}$

si y sólo si $0 \leq 1-2K\|x\| \|y\| + K^{2} \|x\|^{2} \|y\|^{2} = (1-K\|x\| \|y\|)^{2}$

Así que, hemos terminado.

Tenga en cuenta que si $n = 2, x = (1,0), y = (0,1)$ et $K = 1$

Entonces $ \frac{2K \| x - y \|^{2}}{(1+K \|x\|^{2} )(1 + K \|y\| ^{2})} = 2$ por lo que no es cierto "<", cambiar " $\leq$ " en su lugar

Answer 2

La desigualdad estricta falla, tal y como señala ZAF.

Es una buena idea deshacerse de todos los vectores y las normas tratando de demostrar que $\frac {2K(a+b)^{2}} { {(1+Ka^{2})}{(1+Kb^{2})}} \leq 2$ para números positivos $a$ et $b$ . Una vez demostrado esto, la desigualdad dada se mantiene ya que $\|x-y\| \leq \|x\|+\|y\|$ .

Una simple manipulación algebraica reduce esta desigualdad a $(1-Kab)^{2} \geq 0$ lo cual es cierto.