Estoy trabajando en el siguiente problema, ¡y no sé muy bien cómo enfocarlo! Tiene 3 subconjuntos: Se coge al azar una carta cada vez de un mazo, con sustitución . ¿Cuántos "sorteos" se necesitan para garantizar un 50% de posibilidades de tener exactamente 2 reyes (en este caso, puede ser el mismo rey extraído dos veces).
Mi problema es el siguiente: ¡no tengo ni idea de cómo lidiar con esos "exactamente" 2 reyes! Si no estuviera ahí, creo que simplemente establecería el binomio negativo con 2 aciertos y probabilidad común $\frac{1}{13}$ y luego simplemente tomar la suma de las distribuciones binomiales desde x=1 hasta x=[lo que me dé el 50%]. Así que se establecería así: $\sum$$ (x-1)\N-Elección(2-1) $$(1-\frac{1}{13})^{x-2}(\frac{1}{13})^2$ con x de 0 a ??, donde ?? es el número que hace que este rendimiento sea del 50% (se me ocurrió 22, creo).
Sin embargo, no creo que esto sea correcto, ya que en 22 empates puedo obtener mi segundo éxito temprano, y luego proceder a sacar otro rey, lo que no ¡cumplir los requisitos! ¿Alguna idea al respecto? He probado a restar la probabilidad de que salgan 3 o 4 reyes, pero con los números más altos se obtiene una probabilidad negativa, lo que no tiene sentido.
La segunda pregunta es básicamente la misma, sólo que esta vez el muestreo sin de reemplazo. He probado a configurar la distribución hipergeométrica con 4 objetos de tipo 1 (reyes), 48 objetos de tipo 2 (no reyes), con X (el número de objetos de tipo 1 elegidos) igual a 2. Así obtengo [ $4\choose{2}$$ 48\N-elegir{k-2} $]/$ 52\Nelegir{k}$, donde K es el número de cartas robadas. Me imaginé que simplemente aumentaría K hasta que obtuviera una probabilidad >.5, sin embargo, esto no parece suceder nunca, presumiblemente porque a medida que K se hace más grande la probabilidad de 2 en lugar de 3 reyes es baja. Me imagino que probablemente estoy configurando esto de forma incorrecta, ¡realmente agradecería alguna opinión!
La última parte consiste en sacar cartas del mazo, sin reemplazarlas, hasta que sólo queden en el mazo las cartas de la cara (J,Q,K,A). ¿Cuál es la probabilidad de que el as de corazones siga en la baraja? Me imagino que podría hacer 16 iteraciones de hipergeometría (probabilidad de que queden las 16, probabilidad de que queden 15, probabilidad de que queden 14...) y luego multiplicar cada probabilidad por la probabilidad de que el as de corazones esté entre esas cartas (así que 1 para 16 caras, (15/16 para 15 caras, etc...), pero esto parece un poco engorroso y no estoy seguro de si estoy configurando bien las cosas debido a las dos preguntas anteriores. Muchas gracias por su ayuda, se lo agradezco mucho.
Edición: Cabe señalar que las dos primeras partes de esta pregunta son imposibles; la probabilidad nunca llega al 50% en ninguno de esos casos.
