¿Por qué es difícil el tercer teorema de Lie?

Question

Recordemos el siguiente teorema clásico de Cartan (!):

Teorema (Lie III): Cualquier álgebra de Lie de dimensión finita sobre $\mathbb R$ es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie analítico.

Del mismo modo, se pueden proponer enunciados de "Lie III" para álgebras de Lie sobre otros campos, para superálgebras de Lie, para álgebras de Lie, etc.

La demostración que conozco de la Lie III clásica es muy difícil: requiere la mayor parte de la teoría estructural de las álgebras de Lie.

Pero, ¿por qué debería ser difícil? Por ejemplo, para el álgebra de Lie de dimensión finita $\mathfrak g$ en $\mathbb R$ la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff (la serie de potencias dada por $B(x,y) = \log(\exp x \exp y)$ en variables no conmutables $x,y$ (puede escribirse sólo con el corchete de Lie, sin multiplicación) converge en una vecindad abierta del origen, por lo que define una operación de grupo parcial asociativo unital sobre (una vecindad abierta en) $\mathfrak g$ . ¿Qué ocurre si se intenta simplemente pegar copias de este barrio abierto?

Alternativamente, ¿existen variaciones naturales de la Mentira III que son tan falsas que cualquier prueba fácil de la Mentira III está destinada a fallar?

Answer 1

Esta cuestión está relacionada con el siguiente resultado bastante profundo: si $G$ es un grupo de Lie de dimensión finita, entonces $\pi_2(G)=0$ .

La afirmación análoga falla para los algebroides de Lie, al igual que Lie III. El artículo de Tseng y Zhu muestra que esto no es un accidente.

Lie III puede interpretarse como lo siguiente: la foliación del espacio de $\frak{g}$ -en el símplex 1 asociado a la transformación gauge infinitesimal tiene un espacio de hojas Hausdorff.

Una conexión es una forma única $A\in\mathcal{A}=\Omega^1([0,1],\frak{g})$ con valores en el álgebra de Lie $\frak{g}$ . La acción gauge infinitesimal viene dada por la fórmula

$\delta_XA=dX+[A,X]$ ,

donde $X\in\Omega^0([0,1],\frak{g})$ estos vectores abarcan una distribución integrable en el espacio tangente de $\mathcal{A}$ .

(Este espacio de hojas es entonces el grupo de Lie simplemente conectado asociado a $G$ .) Este punto de vista me lo enseñó Raoul Bott.

Answer 2

Ese pegado de trozos de grupo, construido a partir de la fórmula BCH es precisamente más o menos lo que hace Serre para demostrar el teorema (en la primera demostración que da en) su libro sobre grupos de Lie y álgebras de Lie. [Serre, Jean-Pierre. Lie algebras and Lie groups. Conferencias pronunciadas en 1964 en la Universidad de Harvard. Segunda edición. Lecture Notes in Mathematics, 1500. Springer-Verlag, Berlín, 1992. viii+168 pp.]

Answer 3

Existen álgebras de Lie que no son el álgebra de Lie de un grupo algebraico. (Véase aquí .) Eso descarta algunas pruebas, pero no parece que sea un problema para el tipo de prueba analítica que propones.

Answer 4

Creo que Serre dice en alguna parte (probablemente en la misma referencia que la gente ha mencionado) que el tercer teorema es más profundo (lo que no significa necesariamente que sea más difícil) porque es falsa para los grupos de Lie y las álgebras de Lie generales modelados por Banach.

Answer 5

Ahora hay una prueba bastante sencilla del teorema de III Lie utilizando el mapa de momento. Está en

Gijs M. Tuynman. Una demostración elemental del tercer teorema de Lie . Publications de l'U.E.R. Mathematiques Pures et Appliquees, I.R.M.A. Univ. Lille 1 34 (1994), X1-X4,

véase una copia en la caché de Google (parece que el PDF original no está disponible en línea).

El autor dice al final que casi la misma prueba se da en Gorbatsevich La construcción de un grupo de Lie simplemente conectado con un álgebra de Lie dada (aquí en ruso; también existe una versión en inglés).