¿Cuándo "positivo" implica "suma de cuadrados"?

Question

¿Alguien tiene ejemplos de cuando un objeto es positivo, entonces tiene (o no tiene) una raíz cuadrada? O más generalmente, ¿puede escribirse como una suma de cuadrados?

Ejemplo. Un número entero positivo no tiene raíz cuadrada, sino que es la suma de como máximo 4 cuadrados. (Teorema de Lagrange). Sin embargo, un número real positivo tiene raíz cuadrada.

Otro ejemplo. Una forma cuadrática real definida (o semidefinida) es, tras un cambio de coordenadas, una suma de cuadrados. ¿Y las formas cuadráticas racionales o integrales?

Último ejemplo. Una matriz real o compleja definida positiva (o semidefinida) tiene una raíz cuadrada. ¿Y las matrices racionales o integrales?

¿Tiene otros ejemplos?

Answer 1

Para $x$ un elemento autoadjunto de a $C^*$ álgebra es equivalente:

1. $x$ tiene un espectro no negativo
2. $x$ tiene una raíz cuadrada autoadjunta $x=y^2$
3. $x$ es una suma finita de cuadrados $x=\sum {a_i}^*a_i$

en este caso $x$ se llama efectivamente positivo.

Answer 2

Para un ejemplo de elementos positivos que no son una suma de cuadrados, considere cualquier $\delta$ -número ordinal en el anillo de Grothendieck de los ordinales; ninguno de ellos tiene raíces cuadradas, ni es una suma de cuadrados. (esto sigue siendo cierto incluso si pasamos al campo de las fracciones)