¿Cuándo "positivo" implica "suma de cuadrados"?

Question

¿Alguien tiene ejemplos de cuando un objeto es positivo, entonces tiene (o no tiene) una raíz cuadrada? O más generalmente, ¿puede escribirse como una suma de cuadrados?

Ejemplo. Un número entero positivo no tiene raíz cuadrada, sino que es la suma de como máximo 4 cuadrados. (Teorema de Lagrange). Sin embargo, un número real positivo tiene raíz cuadrada.

Otro ejemplo. Una forma cuadrática real definida (o semidefinida) es, tras un cambio de coordenadas, una suma de cuadrados. ¿Y las formas cuadráticas racionales o integrales?

Último ejemplo. Una matriz real o compleja definida positiva (o semidefinida) tiene una raíz cuadrada. ¿Y las matrices racionales o integrales?

¿Tiene otros ejemplos?

Answer 1

Dejemos que $f:(a,b)\rightarrow{\mathbb R}$ sea una función. Si $f(x)=g(x)^2$ entonces $f$ es no negativo y hereda la regularidad de $g$ . A la inversa, supongamos que $f\ge0$ y $f\in{\mathcal C}^k$ . Qué se puede decir de una raíz cuadrada $g$ ?

Si $f$ es ${\mathcal C}^2$ entonces $f$ admite una ${\mathcal C}^1$ raíz cuadrada (T. Mandai, 1985). Si $f$ es ${\mathcal C}^4$ entonces $f$ admite una raíz cuadrada dos veces diferenciable $g$ (Alekseevskiĭ y otros, 1988). Sin embargo, $g$ podría no ser ${\mathcal C}^2$ (Bony et al., 2006).

Answer 2

Como se ha señalado en Respuesta de Tony Carbery un polinomio positivo sobre $\mathbb{R}$ en dos o más variables no tiene por qué ser una suma de cuadrados. Sin embargo, Bill Helton demostró en 2002 que esta hace se mantienen para los polinomios en variables no conmutativas.

Helton, J. William. Los polinomios no conmutativos "positivos" son sumas de cuadrados. Ann. of Math. (2) 156 (2002), nº 2, 675-694. http://www.jstor.org/stable/3597203 .

Answer 3

La existencia del $[r, s, n]$ fórmula de la suma de los cuadrados:

$(x_1^2+ \ldots +x_r^2) \cdot (y_1^2+ \ldots +y_s^2) = (z_1^2+ \ldots +z_n^2)$

está relacionado con la existencia de un mapa axial de los espacios proyectivos:

$P^{r - 1} \times P^{s-1} \to P^{n-1}$

Hay un trabajo reciente que extiende esta fórmula a algunos campos de característica no nula:

http://www.uoregon.edu/~ddugger/ksum.pdf

Answer 4

Otro caso que parece faltar en los comentarios anteriores (pero muy probablemente no en las referencias que hay) es el resultado de Hilbert de 1888 de que todas las formas cuaternarias ternarias no negativas (y los polinomios cuaternarios bivariados) son sumas de cuadrados de polinomios.

Del mismo sabor del tipo de preguntas que has planteado, es un problema abierto determinar si un polinomio con coeficientes racionales que es una suma de cuadrados de polinomios (con coeficientes posiblemente reales) también puede escribirse como una suma de cuadrados de polinomios con coeficientes racionales. Véase, por ejemplo, la sección 3 de http://www.msri.org/people/members/chillar/files/rationallmisos.pdf

Answer 5

Creo que otra pregunta reciente contiene una respuesta:

El 17º problema de Hilbert preguntaba si un polinomio real no negativo es la suma de cuadrados de funciones racionales. Fue respondido afirmativamente por Artin hacia 1920.