¿Cuándo "positivo" implica "suma de cuadrados"?

Question

¿Alguien tiene ejemplos de cuando un objeto es positivo, entonces tiene (o no tiene) una raíz cuadrada? O más generalmente, ¿puede escribirse como una suma de cuadrados?

Ejemplo. Un número entero positivo no tiene raíz cuadrada, sino que es la suma de como máximo 4 cuadrados. (Teorema de Lagrange). Sin embargo, un número real positivo tiene raíz cuadrada.

Otro ejemplo. Una forma cuadrática real definida (o semidefinida) es, tras un cambio de coordenadas, una suma de cuadrados. ¿Y las formas cuadráticas racionales o integrales?

Último ejemplo. Una matriz real o compleja definida positiva (o semidefinida) tiene una raíz cuadrada. ¿Y las matrices racionales o integrales?

¿Tiene otros ejemplos?

Answer 1

Para muchos ejemplos de este tipo, véase Olga Taussky, "Sumas de cuadrados", Amer. Math. Monthly 77 (1970) 805-830.

Answer 2

Un elemento de $\mathbb{R}[x]$ es una suma de dos cuadrados si es no negativa como función sobre $\mathbb{R}$ . Esto puede verse observando que sus raíces reales tienen multiplicidad par, sus factores cuadráticos irreducibles son de la forma $(x-a)^2+b^2$ Un producto de sumas de dos cuadrados es una suma de dos cuadrados, y un cuadrado por una suma de dos cuadrados es una suma de dos cuadrados.

Ver La pregunta de Qiaochu sobre el 17º problema de Hilbert para lo que ocurre en más de una variable.

Answer 3

Un ejemplo muy bonito, debido a Motzkin, encontrado creo que después de la publicación del American Math. Monthly de Taussky, al que se refiere la respuesta de Michael Lugo, es

$$x^2y^4 + x^4y^2 +1 - 3 x^2y^2$$

que puede escribirse como una suma de cuatro (incluso tres) cuadrados racionales

$$ \frac{x^2y^2(x^2 + y^2 -2)^2(x^2 + y^2 +1) +(x^2 - y^2)^2} {(x^2 + y^2)^2},$$

pero no es una suma de cuadrados de polinomios. (Aprendí este ejemplo en una charla de K. Schmudgen).

Answer 4

Creo que su pregunta se inscribe de forma más natural en la categoría de anillos ordenados.

He aquí un ejemplo: un campo puede ser ordenado si es formalmente real: es decir, si -1 es no una suma de cuadrados. Sin embargo, es más cierto: si x es cualquier elemento de un campo K de característica diferente de 2 que no es una suma de cuadrados, entonces existe una ordenación < en K en la que x es negativo. Así, cualquier campo que admita más de una ordenación tendrá elementos positivos que no sean sumas de cuadrados. Por ejemplo, en Q( \sqrt {2}), con la convención habitual, \sqrt {2} es positivo, pero no es una suma de cuadrados, porque en una ordenación diferente (¡aquí, un ajuste de la ordenación dada por un automorfismo de campo!) es negativo.

Otro ejemplo: No, una forma cuadrática racional o integral definida positiva no tiene por qué ser equivalente a una suma de cuadrados. Por ejemplo, las formas cuadráticas x^2 + y^2 y x^2 + 2y^2 no son equivalentes sobre Q. Por un lado, el discriminante de la forma cuadrática (= el producto de los coeficientes, para una forma cuadrática diagonal) está bien determinado hasta un cuadrado en el campo terreno. Así que se vuelve al hecho de que en R, todo número positivo es un cuadrado, pero no en Q.

Para las matrices: ¡mira el caso de 1x1!

Como se aludió antes, otro caso de esto es el problema 17 de Hilbert: sea K un campo ordenado con cierre real R. (¡Para simplificar, tomemos K = R = números reales!) Sea f en K(x_1,...,x_n) una función racional tal que para todo (a_1,...,a_n) en R^n en el que se define f, f(a_1,...,a_n) >= 0. Entonces hay funciones racionales g_1,l..,g_m en K(x_1,...,x_n) tales que f = g_1^2 + ... + g_m^2.

Answer 5

Hay Teorema de Fejér-Riesz Un polinomio trigonométrico no negativo puede expresarse como el cuadrado de la norma de un polinomio complejo.

El teorema de Fejér-Riesz se generaliza de los polinomios trigonométricos a las funciones integrables como teorema de Szegö.