integración mediante fracción parcial con denominador repetido

Question

Así que necesito integrar esto $1/[(x^3)(x-1)]$ , lo que significa que podría descomponerse en:

$$A/x + B/x^2 + C/x^3 + D(x-1)$$

Además, la ecuación resultante sería entonces:

• $1 = A(x^2)(x-1) + Bx(x-1) + C(x-1) + Dx^3$

• si dejo que $x=0$ entonces $C=-1$

• si dejo que $x=1$ entonces $D=1$

Pero no sé cómo obtener los valores de A y B ¿puede alguien ayudarme?

Answer 1

Esta es una forma fácil de hacerlo: $$\frac{1}{x^3(x-1)}=\frac{Ax^2+Bx+C}{x^3}+\frac{D}{x-1}$$

Elegí empezar en $x^2$ para el primero ya que el grado del denominador es $3$ y por el otro $x^0$ porque el denominador tiene grado $1$ (por lo que hay que ir hasta abajo empezando por $x^{\text{denominator degree}-1}$ ).

Combina las dos fracciones en una fracción con el denominador original: $$\frac{(Ax^2+Bx+C)(x-1)+D(x^3)}{x^3(x-1)}$$

Y recuerda que el numerador era igual a $1$ : $$(Ax^2+Bx+C)(x-1)+D(x^3)=1$$ Distribuir: $$Ax^3+Bx^2+Cx-Ax^2-Bx-C+Dx^3=1$$ Combina términos similares: $$(A+D)x^3+(B-A)x^2+(C-B)x-C=1$$

Y adivina qué $$(A+D)x^3+(B-A)x^2+(C-B)x-C=0x^3+0x^3+0x+1$$

Por lo tanto, tenemos: $$\begin{cases}A+D=0\\B-A=0\\C-B=0\\-C=1\end{cases}$$

Lo que te da: $$\begin{cases}A=-1\\B=-1\\C=-1\\D=1\end{cases}$$

Y así es: $$\frac{-x^2-x-1}{x^3}+\frac1{x-1}=-\frac1{x}-\frac1{x^2}-\frac1{x^3}+\frac1{x-1}$$

Que es fácil de integrar: $$\begin{align}&\int\left(-\frac1{x}-\frac1{x^2}-\frac1{x^3}+\frac1{x-1}\right)dx\\=&-\ln x+\frac1{x}+\frac1{2x^2}+\ln(x-1)\end{align}$$

Answer 2

Sugerencia: Pruebe con otros dos valores de $x$ diga $x=2$ y $x=-1$ y utilizar sus valores de $C$ y $D$ para obtener los valores de $A$ y $B$ de las ecuaciones resultantes. Tendrás dos ecuaciones en $2$ desconocidos.

Answer 3

Si $x=2$ entonces $1=4A+2B+C+8D$ . Si $x=-1$ entonces $1=-2A+2B-2C-D$ . Como sabes $C,D$ ahora tienes dos ecuaciones lineales en $A,B$ que puede resolver.