Conversión de la ecuación polar a la cartesiana: solución de forma general

Question

Estoy tratando de encontrar el equivalente cartesiano de la ecuación general $$r=a\cos(q\theta) + c; q\in\mathbb Q, a\gt c \in\mathbb R$$ si existe. Mi memoria de calc es un poco confusa, y no he podido romper esto usando ninguna de las identidades trigonométricas que recuerdo, o que pude encontrar en internet. También he tratado de usar las transformadas de Laplace para las $a, c, q$ . Sin embargo, esto dio lugar a una expresión que contiene exponenciales complejos. Por ejemplo $$r(\theta)=\cos\left(\frac 57\theta\right) + 2=\frac 1 {98}\left[e^{-5i\theta}+e^{5i\theta}\right] + 2$$ Esta estrategia no fue muy fructífera, ya que casi no tengo conocimientos de matemáticas complejas, y no tengo ni idea de cómo manejar esos términos exponenciales.

Tengo mucha curiosidad por saber si existe una solución general cartesiana correspondiente a este tipo de ecuación polar. También estaría muy agradecido por un ejemplo trabajado usando constantes de conjunto, o recomendaciones de material de lectura que podría ayudarme a resolver esto.

Answer 1

Se puede escribir como $$\sqrt{x^2+y^2}=a\cos\left(q\arctan(\frac yx)\right)+c$$

Answer 2

Si se restringe el conjunto de soluciones a $q$ siendo un número entero, entonces podrías hacer uso de esta identidad: $$ \cos(q\theta)=\sum_{k=0}^q\cos^k(\theta)\sin^{q-k}(\theta)\cos\left(\frac{(q-k)\pi}{2}\right) $$ Entonces usando: $$\begin{align} r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ \cos(\theta)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \sin(\theta)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{align}$$ Terminas con: $$ \sqrt{x^2+y^2}=a\left(\sum_{k=0}^q\frac{x^ky^{q-k}}{(x^2+y^2)^\frac{q}{2}}\cos\left(\frac{(q-k)\pi}{2}\right)\right)+c $$ (suponiendo que no haya cometido ningún error en mis cálculos)