Límite que implica una función trigonométrica como $x\rightarrow +\infty$

Question

Probablemente deba usar esta identidad: $$\lim_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$ Tengo este problema matemático: $$\lim_{x\to+} (x^2-1) \sin(\frac{1}{x-1}) = \lim_{x\to+} (x+1)(x-1) \sin(\frac{1}{x-1}) = ???$$ ¿Puedo hacer esto hasta el límite de los senos? $$\lim_{x\to+} \frac{1}{\sin(\frac{x-1}{1})}$$

Answer 1

Dejemos que $X=\frac{1}{x-1}$ para que $x-1=\frac{1}{X}$ y $x+1=2+\frac{1}{X}$
Tenemos $\lim_{x \to +\infty} (x^2-1) \sin(\frac{1}{x-1})=\lim_{X \to 0^+} (2+\frac{1}{X}) \frac{\sin(X)}{X}=+\infty$

Answer 2

Con $X=\frac{1}{x-1}$ o

$x=\frac{1}{X}+1$ ,

el límite se convierte en,

$\lim_{X\to 0^+}(\frac{1}{X}+2)\frac{\sin(X)}{X}$

que da $+\infty$ .

Answer 3

Desde $\sin t \sim t$ cuando $t \to 0$ tenemos $\sin \frac{1}{x-1} \sim \frac{1}{x-1} \sim \frac 1x$ cuando $x \to +\infty$ . También hemos $x^2-1 \sim x^2$ cuando $x \to +\infty$ . Utilizando esto, tenemos $f(x)=(x^2-1)\sin\frac{1}{x-1} \sim x$ y $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$