Hay (al menos) cinco versiones interesantes del grupo cuántico en una raíz de la unidad.
La forma Kac-De Concini: Esto es lo que se obtiene si se toma la forma integral obvia y se especializa q a una raíz de la unidad (es posible que se quiera despejar los denominadores primero, pero eso sólo afecta a algunas pequeñas raíces de la unidad). La mejor manera de verlo es como una versión cuantizada de los chorros de funciones en el grupo dual de Poisson. Su característica más importante es que tiene un subalgebra central de Hopf muy grande (generado por las potencias l de los generadores estándar). En particular, su teoría de la representación se asienta sobre Spec del gran centro, que es necesariamente un grupo y resulta ser el grupo dual de Poisson. También tiene un pequeño álgebra de Hopf cociente cuando se mata el gran centro.
Las principales fuentes para la estructura de las representaciones de dimensión finita son los trabajos de los subconjuntos de Kac-DeConcini-Procesi (la estructura de las representaciones depende de la hoja simpléctica en G*, en particular hay unas "genéricas" que provienen de la celda grande) así como algunos trabajos más recientes de Kremnitzer (que demuestran algunos resultados más fuertes sobre las dimensiones de las representaciones no genéricas) y de DeConcini-Procesi-Reshetikhin-Rosso (que dan las reglas del producto tensorial para las representaciones genéricas). La principal aplicación que conozco de esta forma integral es a los invariantes de los nudos junto con una estructura hiperbólica en el complemento y a los invariantes de los 3-manifolds hiperbólicos debidos a Kashaev, Baseilhac-Bennedetti y Kashaev-Reshetikhin. Se espera que estos invariantes arrojen algo de luz sobre la conjetura del volumen.
La forma Lusztig: Aquí se empieza con la forma integral que tiene potencias divididas. Estructuralmente esto tiene una pequeña subálgebra generada por los generadores habituales (E_i, F_i, K_i) ya que E^l = 0. El cociente por esta subálgebra da el álgebra envolvente universal habitual a través de algo llamado el mapa cuántico de Frobenius. La principal representación en la que se fija la gente son los "módulos basculantes". Los módulos basculantes tienen una descripción técnica, pero lo importante es que los módulos basculantes indecomponibles son exactamente los sumandos de los productos tensoriales de las representaciones fundamentales. Los módulos basculantes indecomponibles están indexados por pesos en la cámara de Weyl. El "principio de vinculación" te dice que dentro de la serie de descomposición de un determinado módulo basculante indecomponible sólo tienes que mirar los módulos de Weyl con mayores pesos dados por elementos más pequeños en una determinada órbita del grupo de Weyl afín.
Es la forma integral de Lusztig (no especializada) la que es importante para la categorización. La forma de Lusztig en una raíz de la unidad es importante para las relaciones entre los grupos cuánticos y las representaciones de los grupos algebraicos y para las relaciones con las álgebras de mentira afines. Las principales fuentes son Lusztig y HH Andersen (y sus colaboradores). También soy aficionado a un papel de Sawin que hace un buen trabajo de limpieza de la literatura.
La forma integral de Lusztig es también la natural desde el punto de vista de la topología cuántica. Por ejemplo, si se comienza con el álgebra de Temperley-Lieb (o, de forma equivalente, con los enredos modulares de las relaciones de los corchetes de Kauffman) y se especializa q en una raíz de la unidad, lo que se obtiene es el álgebra planar para los módulos de inclinación de la forma de Lusztig en esa raíz de la unidad.
El pequeño grupo cuántico:
Se trata de un álgebra de Hopf de dimensión finita, aparece como cociente de la forma K-DC (cotizando por la gran subálgebra central) y como subálgebra de la forma Lusztig (generada por los generadores estándar). Tengo entendido que la teoría de la representación no se entiende muy bien. Pero recientemente Roman Bezrukavnikov y otros han realizado algunos trabajos. También escribí un entrada del blog sobre cómo es la teoría de la representación aquí para uno de los ejemplos más pequeños.
La categoría semisimplificada:
A diferencia de los otros ejemplos, ¡no se trata de la categoría de representaciones de un álgebra de Hopf! (Aunque como todas las categorías de fusión es la categoría de representaciones de un álgebra de Hopf débil). Se empieza con la categoría de módulos basculantes para la forma de Lusztig o la categoría de representaciones de dimensión finita del grupo cuántico pequeño y luego se "semisimplifica" matando todos los "morfismos despreciables". Un morfismo es despreciable si te da 0 sin importar cómo lo "cierres". Alternativamente los morfismos despreciables son el núcleo de un cierto producto interior sobre los espacios Hom. La categoría resultante es semisimple, su teoría de la representación es una versión "truncada" de la teoría de la representación habitual. En particular, las únicas representaciones que sobreviven son las de la "alcoba de Weyl", que es como la cámara de Weyl, excepto que ha sido cortada por una línea perpendicular a l por un cierto peso fundamental (véase el artículo de Sawin para la línea correcta, que depende sutilmente del tipo de raíz de la unidad).
Este ejemplo es la principal fuente de categorías modulares y de interesantes categorías de fusión. Su principal aplicación son los invariantes de los 3 maniquíes de Reshetikhin-Turaev (donde aparece por primera vez este cociente, creo) y Turaev-Viro. Para esos invariantes es muy importante que su categoría tensorial trenzada sólo tenga un número finito de objetos simples diferentes.
La forma integral de las potencias semidivididas:
Esto aparece en el trabajo de Habiro sobre versiones universales de los invariantes de Reshetikhin-Turaev y sobre resultados de integralidad relativos a estos invariantes. Esta forma integral se parece a la forma Lusztig en el Borel superior y a la forma K-DC en el Borel inferior. La ventaja clave es que en la construcción de la matriz R a través del doble de Drinfeld se debe buscar algo como U_q(B+) \otimes U_q(B+)* y resulta que el dual del Borel sin potencias divididas es el Borel con potencias divididas y viceversa. Se ha trabajado muy poco en este caso más allá del trabajo de Habiro.
