Si $\int f(x)dx =g(x)$ entonces $\int f^{-1}(x)dx $ es igual a

Question

Si $\int f(x)dx =g(x)$ entonces $\int f^{-1}(x)dx $ es igual a

(1) $g^{-1}(x)$

(2) $xf^{-1}(x)-g(f^{-1}(x))$

(3) $xf^{-1}(x)-g^{-1}(x)$

(4) $f^{-1}(x)$

Mi enfoque es el siguiente: Dejemos que $f(x)=y$ Por lo tanto $f^{-1}(y)=x$ , $\int f^{-1}(f(x))dx =g(f(x))$

Al diferenciar obtenemos $x=g'(f(x))f'(x)$

Después de este paso, no puedo continuar.

Answer 1

Hay un bonito cálculo visual de la antiderivada de una función inversa: $$F(x) := \int_0^x f^{-1}(t) dt$$ es una antiderivada para $f^{-1}(x)$ y para $x = a$ , $F(a)$ es igual a la zona verde de la imagen siguiente † :

Si pudiéramos averiguar la zona azul, estaríamos listos, porque

\begin{align*} \text{ (green area) } &= \text{ (rectangle area) } - \text{ (blue area) } \\ F(a) &= af^{-1}(a) - \text{ (blue area) }.\ \end{align*}

Pero si reflejamos esta imagen a través de la línea $y = x$ vemos que el área azul es sólo la antiderivada de $f$ , a saber $g(x) := \int_0^x f(t) dt$ evaluado en $f^{-1}(a)$ :

Así que obtenemos $$\text{ (blue area) } = g(f^{-1}(a)),$$

y al introducir esto, obtenemos que $F(a)$ es igual a la segunda de las cuatro opciones:

\begin{align*} F(a) &= af^{-1}(a) - \text{ (blue area) } \\ &= af^{-1}(a) - g(f^{-1}(a)). \ \end{align*}

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† Para que la imagen se vea bien, asumimos $f(0) = f^{-1}(0) = 0$ sin pérdida de generalidad.

Answer 2

Ignorando la constante de integración la respuesta es (2): $$\int f^{-1}(x)dx=\int yf'(y)dy=yf(y)-\int f(y)dy$$ (donde he utilizado la integración por partes). Por lo tanto, $$\int f^{-1}(x)dx=f^{-1}(x)x-g(y)=xf^{-1}(x)-g(f^{-1}(x))$$ .

Answer 3

Dado $y=f(x) \implies x=f^{-1}(y)$ Entonces $$\int f^{-1}(x) dx= \int f^{-1}(y) dy= \int x dy= \int x \frac{dy}{dx} dx=\int xf'(x) dx $$ $$=xf(x)-\int f(x)dx=xf(x)-g(x)+C.$$ Por último, hemos realizado la integración por partes.

Answer 4

Todas las demás respuestas ya te han dado los mejores métodos para resolver el problema. Quiero decir que como te dan las opciones para la integral $\int f^{-1} (x) dx$ Sería bueno diferenciar las opciones para ver si conseguimos $f^{-1}(x)$ (debería seguirse de El teorema fundamental del cálculo ).

Probemos la primera opción: $$ If ~~ \int f^{-1}(x) dx = g^{-1} (x) \\ then~~~ f^{-1} (x)= \frac{d}{dx} g^{-1} (x) \\ f^{-1} (x)= \left( \frac{d~g(x)}{dx} \right)^{-1}\\ f^{-1} (x)= \frac{1}{f(x)}$$ (en el tercer paso he vuelto a utilizar el FTC para la función $f(x)$ ) la última igualdad no es verdadera en general, por lo que esta opción no es válida.

Probemos la segunda opción: $$ If~~ \int f^{-1}(x) dx = xf^{-1} (x) - g\left( f^{-1}(x)\right) \\ then~~ f^{-1}(x)= \frac{d}{dx} \left[xf^{-1} (x) - g\left( f^{-1}(x)\right) \right] \\ f^{-1} (x)= f^{-1}(x) + x \frac{d~f^{-1}(x)}{dx} - f\left(f^{-1} (x)\right) \frac{d~f^{-1}(x)}{dx}\\ f^{-1}(x) = f^{-1}(x) $$ Por lo tanto, la segunda opción es correcta.

¡Espero que aporte algo a este hilo!