Potenciales Impares en TISE

Question

Cuando tenemos un potencial par decimos que tiene una función de onda de paridad par e impar, cf. por ejemplo este & este Física.

¿Qué hay de un potencial impar?

Por ejemplo, dos funciones delta centradas en el origen (es decir, una está en el lado negativo y otra en el lado positivo del eje) es un potencial par y tiene soluciones pares e Impares.

Ahora bien, ¿qué pasa si no están centrados en el origen (ambos potenciales delta en el mismo lado, ya sea positivo o negativo)?

Answer 1

El principio básico es que

• si el hamiltoniano es simétrico de alguna manera,
• entonces sus funciones propias pueden ser elegidas de forma simétrica con respecto a las simetrías del hamiltoniano.

Ahora bien, esa descripción de alto nivel es esencialmente inútil si no se precisa lo que significa realmente cada una de esas dos cosas.

• Por "simétrico de alguna manera", queremos decir que existe algún operador de simetría $\hat S$ que conmuta con el hamiltoniano, $$[\hat H, \hat S] = 0.$$ Este operador de simetría debe ser unitario (es decir $\hat S^\dagger \hat S = \mathbb I$ ), pero aparte de eso no hay restricciones al respecto, y puede provenir de una amplia clase de operaciones:

  • puede ser una rotación o una traslación, posiblemente de un grupo discreto o posiblemente en función de un parámetro continuo.
  • puede ser el operador de paridad, para lo cual $\hat S|x\rangle = |{-x}\rangle$ ; si $\hat H$ conmuta con este operador de paridad decimos que "tiene un potencial par".
  • puede ser un operador de reflexión sobre algún otro punto $R$ para que $\hat S|x\rangle = |{2R-x}\rangle$ esto incluye el caso en el que se tienen dos picos delta idénticos en posiciones arbitrarias, en cuyo caso $R$ es el punto medio entre ellos.

  ... entre una amplia clase de otras operaciones posibles.

• Dado lo anterior, se garantiza la existencia de una base de funciones propias del hamiltoniano que son estados propios del operador de simetría $\hat S$ . (Tenga en cuenta, sin embargo, que está no garantizó que cada Base propia de $\hat H$ consistirá en vectores propios de $\hat S$ , especialmente si el espectro del hamiltoniano es degenerado).

  • Para algunas operaciones de simetría, "ser un estado propio de $\hat S$ "puede ser una propiedad bastante complicada que requiere cierto análisis, como por ejemplo cuando $\hat S$ es una rotación o una traslación.

    (Como nota importante: w $\hat S_1, \hat S_2, \hat S_3$ ─ donde esos operadores no conmutan entre sí, lo que complica las cosas. En estos casos, el lenguaje pasa a teoría de la representación de grupos : se tiene un grupo de simetría, y se garantiza que cada eigespacio es/lleva un representación de ese grupo. Este es el caso, por ejemplo, de las rotaciones en tres dimensiones).

  • Si $\hat S$ es un operador de paridad, sin embargo, las cosas son un poco más sencillas, porque este operador de simetría obedece a la simple relación $\hat S^2 = \mathbb I$ y esto implica que cualquier valor propio $s$ de $\hat S$ debe obedecer a la misma relación, $s^2 =1$ que para este caso implica que $s = \pm 1$ .

    En otras palabras, se garantiza que las funciones propias obedezcan $\hat S |\psi\rangle = +|\psi\rangle$ (es decir, funciones pares) o $\hat S |\psi\rangle = - |\psi\rangle$ (es decir, las funciones de impar).

Para el caso de un operador de paridad descentrado (es decir $\hat S|x\rangle = |{2R-x}\rangle$ ) la relación $\hat S^2 = \mathbb I$ sigue siendo válida (¡compruébelo!), lo que significa que las consecuencias de esa relación siguen siendo válidas: se garantiza una base propia de funciones pares e Impares con respecto a esa operación de simetría.