Una muy curiosa fracción racional que converge. ¿Qué es el valor?

Question

Hay alguna forma cerrada para el siguiente límite?

Definir la secuencia de $$ \begin{cases} a_{n+1} = b_n+2a_n + 14\\ b_{n+1} = 9b_n+ 2a_n+70 \end{casos}$$ con valores iniciales $a_0 = b_0 = 1$. A continuación, $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = ? $

El límite es de aproximadamente $0.1376$. Mi profesor de matemáticas de Carlos Ivorra dice que este límite tiene una forma cerrada que implican el seno de un ángulo. ¿Cuál es la forma cerrada para que es el límite?

NOTA: he encontrado esto (y otra serie de convergencia de las secuencias) por el uso de un método antiguo para el cálculo de senos redescubierto recientemente. Te voy a dar los detalles de pronto como una cuestión de carácter más general.

Answer 1

Si $\mu=\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n} }{b_{n} } $existe $$ \mu=\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1} }{b_{n+1} } = \lim_{n\to\infty} \frac{b_n+2a_n + 14}{9b_n+ 2a_n+70 }\\= \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{b_{n} }{b_{n} }+2\frac{a_{n} }{b_{n} } + \frac{14 }{b_{n} }}{9\frac{b_{n} }{b_{n} }+ 2\frac{a_{n} }{b_{n} }+\frac{70 }{b_{n} } }\\ =\frac{1+2\lim_{n\to\infty}(\frac{a_{n} }{b_{n} }) + \lim_{n\to\infty}(\frac{14 }{b_{n} })}{9+ 2\lim_{n\to\infty}(\frac{a_{n} }{b_{n} })+\lim_{n\to\infty}(\frac{70 }{b_{n} }) }\\ =\frac{1+2\mu+ 0}{9+ 2\mu+0} $$ Aquí hemos utilizado el hecho de que ${b}_{{n}}>{n}$ y, por tanto, $$0\leq~\lim_{{n}\to\infty}~{\frac{1}{{b}_{{n}}}}<\lim_{{n}\to\infty}~{\frac{1}{{n}}}\leq0$$

Así $$2\mu^2+7\mu-1=0$$. Pero $\mu \gt 0$, por lo que $$\mu={{\sqrt{57}-7}\over{4}} $$

Answer 2

Una idea para obtener el límite en la forma cerrada :

Let A $=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 9 \end{pmatrix}$, $X_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$, and $b=\begin{pmatrix} 14 \\ 10 \end{pmatrix}$.

Usted puede escribir $X_{n+1} = AX_n + b$. La idea es resolver la ecuación $X=AX+b$ ($X$ ser un vector bidimensional) - esta ecuación tiene una única solución como $(A-I)$ es no singular. Vamos a llamar a $X$ esta solución; usted puede escribir $(X_{n+1}-X)=A(X_n - X)$ a continuación, para todos los $n$, se tiene :

\begin{equation} (X_{n} - X ) =A^n (X_{0} - X) \end{equation}

$A^n$ puede ser evaluado por diagonalizing $A$. Esto le dará $X_n$ (y, a continuación, $a_n$ $b_n$ en forma cerrada).

Answer 3

La solicitada límite es: $$ \frac{4 \sqrt{57} - 20}{4 \sqrt{57} + 44} \approx 0.1374586 $$ Este es $$ \frac{ \sqrt{57} - 5}{ \sqrt{57} + 11} $$ y racionalizar el denominador da $$ \frac{ \sqrt{57} - 7}{ 4} $$

$$ a_{n+2} = 11 a_{n+1} - 16 a_n - 42 $$

$$ b_{n+2} = 11 b_{n+1} - 16 b_n - 42 $$

El independiente lineal recurrencias son el resultado de la Cayley-Hamilton Teorema aplicado a la matriz $$ \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 2 & 9 \end{array} \right) $$ aunque escribí todo en detalle porque no estaba seguro de lo que los términos constantes $14,70$ haría.

Hmmm. Lo bueno es que me fue muy cuidadosa, no era necesario que el 42 es el resultado de la misma. Dada la matriz de sistema de $X_{n+1} = A X_n + B,$ donde $\tau = \operatorname{trace} A$ $\delta = \det A,$ tenemos $$ X_{n+2} = \tau X_{n+1} - \delta X_n + (A - (\tau - 1)I) B. $$ No hay ninguna razón para esperar que los dos componentes de $(A - (\tau - 1)I) B$ a salir el mismo que fue dispuesto para este problema en particular. De hecho, aquí $$ (A - (\tau - 1)I)^{-1} = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & 8 \end{array} \right) $$ así que para conseguir las dos constantes de la misma que se requiere para tomar la constante de vectores $B$ como un escalar varios de $$ \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & 8 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 10 \end{array} \right), $$ y se multiplica esto por $7.$

$$ a_n = \left( 4 - \frac{20}{\sqrt{57}} \right) \left( \frac{11 + \sqrt {57}}{2} \right)^n + \left( 4 + \frac{20}{\sqrt{57}} \right) \left( \frac{11 - \sqrt {57}}{2} \right)^n - 7 $$ $$ b_n = \left( 4 + \frac{44}{\sqrt{57}} \right) \left( \frac{11 + \sqrt {57}}{2} \right)^n + \left( 4 - \frac{44}{\sqrt{57}} \right) \left( \frac{11 - \sqrt {57}}{2} \right)^n - 7 $$

Answer 4

Aquí está una rigurosa y sistemática a la hora de analizar la existencia y el valor del límite. (miracle173's respuesta no demostrar la existencia, sino utiliza esencialmente el mismo método para encontrar el valor, si es que existe.)

Deje $c_n = \frac{a_n}{b_n}$ (para cada una de las $n \in \mathbb{N}$).

A continuación,$b_{n+1} c_{n+1} = b_n + 2 b_n c_n + 14$.

Y $b_{n+1} = 9 b_n + 2 b_n c_n + 70$.

Por lo tanto $c_{n+1} = \dfrac{ b_n + 2 b_n c_n + 14 }{ 9 b_n + 2 b_n c_n + 70 } = \dfrac{ 1 + 2 c_n + \frac{14}{b_n} }{ 9 + 2 c_n + \frac{70}{b_n} }$.

Deje $r = \dfrac{\sqrt{57}-7}{4}$, de modo que $r = \dfrac{1+2r}{9+2r}$, y deje $d_n = c_n - r$.

Tomar cualquier $ε > 0$, y vamos a "$[x]$" denotar "$\{ t : t \in \mathbb{R} \land |t| \le x \}$".

A continuación,$c_{n+1} \in \dfrac{ 1 + 2 c_n }{ 9 + 2 c_n } + [ε]$$n \to \infty$, ya que el $b_n \to \infty$$n \to \infty$.

A continuación,$d_{n+1} \in \dfrac{ 1 + 2 (r+d_n) }{ 9 + 2 (r+d_n) } + [ε] - r = \dfrac{ 2 - 2 r }{ 9 + 2 (r+d_n) } d_n + [ε] \subseteq [\frac29 d_n] + [ε]$.

Por lo tanto $d_n \in [2ε]$ eventualmente como $n \to \infty$, ya que el $\frac29 x + 1 < x - \frac12$ cualquier $x > 2$.

Por eso desde la $ε$ fue arbitraria, $d_n \to 0$$n \to \infty$.

Answer 5

Definir

$$ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} $$ $$ r = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{b_n} $$ $$ s = \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} $$

entonces no es difícil ver que $L = r/s$. También, mediante la sustitución en la recursividad, ya que contamos con $b_n \to \infty$, se puede calcular

$$ r = \lim_{n \to \infty} \left(1 + 2 \frac{a_n}{b_n} + \frac{14}{b_n}\right) = 1 + 2L $$ $$ s = \ldots = 9 + 2L $$

(la razón para definir $r$ $s$ es precisamente porque quería simplificar el recursiones en este modo)

Resolviendo el sistema de ecuaciones, junto con la $L>0$, da

$$ L = \frac{-7 + \sqrt{57}}{4} $$