El reto de la conjetura de los primos gemelos

Question

¿Existe una cantidad infinita de pares compuestos de gemelos (que son infinitos) ( https://oeis.org/A060461 ) cuyos factores primos están contenidos en un par de primos gemelos?

Ejemplo: $ (119,121) $

$ 119 = 7 * 17 $

$ 121 = 11 * 11 $

$7, 11, 17$ están contenidas en $(5,7)$ $(11, 13)$ y $(17, 19)$ que son pares de primos gemelos

¿Es imposible utilizar este tipo de preguntas para responder a la conjetura de los primos gemelos?

Answer 1

Probablemente sí, por motivos probabilísticos; y ciertamente sí por la conjetura de las k-tuplas primarias de Hardy-Littlewood, que implica (por ejemplo) que hay infinitos enteros $n$ para lo cual $3n-1$ , $3n+1$ , $5n-1$ y $5n+1$ son todos primos. En ese caso, $3(5n+1)$ y $5(3n+1)$ son números enteros que difieren en dos, todos cuyos factores primos forman parte de pares primos gemelos.

Sin embargo, si sólo hay un número finito de primos gemelos, entonces probablemente sea posible demostrar que la respuesta es "no" (esto suena como un trabajo para "ecuaciones de unidades S"). Suponiendo que esto sea correcto, entonces el problema de la OP es más difícil que la conjetura de los primos gemelos.