¿Cómo demuestro mediante inducción que cualquier número a que sea mayor o igual que 1, elevado a una potencia k(que sea primo) será igual a a + kq, donde q es algún número entero?
Respuesta
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Me gusta la prueba de la teoría de grupos: $\mathbb (Z/kZ)^*$ es un grupo, con orden $k-1$ . Por el teorema de Lagrange, el orden de cada elemento divide el orden del grupo. Por lo tanto, $a^{k-1}\cong1\pmod k$ . Ahora multiplique por $a$ .
Pero, para hacerlo por inducción, utiliza el "sueño del novato", que es verdadero en la característica k: $(x+y)^k=x^k+y^k$ .
Con esto, el paso inductivo es fácil: suponer $a^k=a$ . Entonces $(a+1)^k=a^k+1^k=a+1$ .
