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Reconciliar la función de tres puntos con la OPE en CFT

La función de tres puntos de los operadores primarios en la teoría del campo conforme puede fijarse hasta una constante por consideraciones de simetría $$\left\langle V_{h_1}(z_1)V_{h_2}(z_2)V_{h_3}(z_3)\right\rangle=\frac{C_{h_1h_2h_3}}{(z_1-z_2)^{h_1+h_2-h_3}(z_1-z_3)^{h_1+h_3-h_2}(z_2-z_3)^{h_2+h_3-h_1}}$$ Por otro lado, debería ser posible derivar este resultado utilizando la expansión del producto del operador $$V_{h_1}(z_1)V_{h_2}(z_2)=\sum_{h,K}C^{h,K}_{h_1h_2}(z_1-z_2)^{h+|K|-h_1-h_2}L_{-K}V_h(z_2)$$ aquí la suma se realiza sobre todas las dimensiones primarias $h$ y sus descendientes parametrizados por el multiíndice $K=\{k_1,...,k_2\}, |K|=k_1+\dots+k_n$ . La expansión OPE es válida dentro de la función de correlación dado que no hay otros campos entre los puntos $z_1$ y $z_2$ . Para la función de tres puntos esto implica que debemos tener $|z_3-z_2|>|z_1-z_2|$ . Con esta suposición podemos reescribir la función de tres puntos como $$\left\langle V_{h_1}(z_1)V_{h_2}(z_2)V_{h_3}(z_3)\right\rangle=\sum_{h,K}C^{h,K}_{h_1h_2}(z_1-z_2)^{h+|K|-h_1-h_2}\left\langle L_{-K}V_h(z_2)V_{h_3}(z_3)\right\rangle$$

Ahora bien, creo que todas las funciones de dos puntos dentro de la h.r. desaparecen excepto $h=h_3$ y $K=\{\}$ es decir, para un campo primario del peso $h_3$ ( esta podría ser la suposición errónea que lleva a la incoherencia ). Entonces, utilizando el correlacionador de dos puntos $V_{h}(z_1)V_h(z_2)=C(h)(z_1-z_2)^{-2h}$ se llega a la siguiente expresión

$$\left\langle V_{h_1}(z_1)V_{h_2}(z_2)V_{h_3}(z_3)\right\rangle=(z_1-z_2)^{h_3-h_1-h_2}(z_2-z_3)^{-2h_3} C(h_3)C^{h_3,\{\}}_{h_1h_2}$$

que claramente tiene una dependencia de coordenadas diferente. Entonces, ¿cómo se obtiene la función de tres puntos correcta utilizando la OPE?

3voto

mhaller Puntos 10002

Debes sumar todos los descendientes $K$ . En general, sus contribuciones no desaparecen, aunque son sublegantes en el límite $z_1\to z_2$ . Por ejemplo, la función de dos puntos $$ \langle L_{-1}V_{h_3}(z_2)V_{h_3}(z_3) \rangle = \frac{\partial}{\partial z_2}\langle V_{h_3}(z_2)V_{h_3}(z_3) \rangle $$ es claramente distinto de cero.

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