¿Puedo usar los términos de prueba y la evidencia como sinónimos o es que hay una diferencia? Se suelen ver a los matemáticos a escribir sobre "la prueba", mientras que las demás ciencias, en lugar de hablar de "evidencia" - hay una diferencia práctica o qué significan los mismo, una comprensión de la base para el resultado de la ciencia y es que la base que nos llame a prueba o evidencia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Hipótesis: $n^2-n+41$ es primo, natural de todos los $n$.
Evidencia: True para $n=1, 2, 3,\ldots, 40$.
Que parece convincente, pero para $n=41$ la hipótesis es falsa.
En general, la ciencia normalmente utiliza el razonamiento inductivo, es decir, darse cuenta de un patrón y afirmando que se sigue para siempre. Una mejora es el método científico, es decir, darse cuenta de un patrón, haciendo una predicción, y comprobar si la predicción es cierto la próxima vez. Por desgracia, ninguno de estos es considerado una prueba matemática.
En matemáticas, la "evidencia" es más débil que la "prueba".
Los matemáticos usan las palabras "prueba" y "evidencia" de manera diferente en las ciencias. Cuando hablamos de una "prueba" de que algo es cierto, nos referimos a un irrefutable de la línea de implicaciones lógicas. Cuando se habla de la "evidencia" de que algo es cierto, que por lo general significa indicaciones (como muchos trabajaron ejemplos o teoremas relacionados).
Por ejemplo, hasta donde yo sé, nadie tiene una "prueba" de que la Hipótesis de Riemann es cierto. Sin embargo, hay un montón de evidencia que es probablemente verdadero (ejemplos: hay infinitamente muchos ceros en la línea crítica, todos los ceros de la mentira, al menos, "cerrar", muchos de los teoremas que se supone ha sido comprobado). De nuevo, incluso con toda esta evidencia, esto todavía no nos dan "prueba" de que es cierto.
Así que supongo que en una especie de manera perversa, se podría pensar en una "prueba" como "evidencia". Pero "evidencia" no es suficiente para ser una "prueba".
Sí, la ciencia ve en estos términos de igual a igual. Las matemáticas nos mantiene a un nivel superior. A diferencia de los resultados científicos, las matemáticas los resultados son verdaderas (no es, aproximadamente, de ordenación de la verdad para hoy).
Si eres un 20 del siglo especie de científico, se podrían describir como "evidencia" para una hipótesis como un valiente, pero fallido intento de falsificar -para demostrar lo equivocado, demostrando que implica algo falso.
Por ejemplo, dicen que es de principios de 1800, y desea probar la hipótesis H que de Fresnel del modelo de onda describe con precisión el comportamiento de la luz. Te aviso que de Fresnel del modelo tiene una sorprendente consecuencia: implica que, bajo ciertas condiciones, la sombra de un disco opaco debe tener un punto brillante en el centro! Vamos a llamar a ese sorprendente consecuencia yo. Si la hipótesis de que me resulta estar equivocado -, que parece muy probable-entonces H debe estar mal, porque H implica que yo.
Su colega François Arago establece un disco opaco bajo las condiciones de iluminación derecha. Él ve la mancha! Contra toda expectativa, la hipótesis de que me sostiene. Su valiente intento de falsificar H ha fallado. Arago experimento que pase a la historia como una fuerte evidencia en favor de la H. La mancha, para su disgusto, a veces es el nombre de usted.
Cuando los matemáticos hablan de la "evidencia" de que estamos hablando de la misma cosa. Si quieres probar una conjetura matemática C, un vistazo a sus implicaciones. Si usted es afortunado, usted descubrirá que C tiene una sorprendente consecuencia yo que es factible de verificación. Si usted echa un yo, y encontrar que es cierto, se ha encontrado evidencia de C.
La generalización de la hipótesis de Riemann GRH, como @BillCook menciona, es un excelente ejemplo de una conjetura con un montón de pruebas, pero no se conocen prueba.
La generalizada de Riemann hipótesis es una conjetura acerca de ciertas funciones de los enteros a los números complejos, llamados caracteres de Dirichlet. Me encontré con su afirmación muy intimidante a primera vista, pero no es terriblemente difícil de entender si se romper en trozos tamaño bocado y se vuelven muy cómodo con el análisis complejo.
La conjetura de GRH tiene muchas implicaciones sorprendentes, y muy pocos de ellos han demostrado ser cierto. Aquí están algunos ejemplos, cribbed de una excelente MathOverflow respuesta por @KConrad. La daga † marcas de cosas en las que me más o menos directamente de @KConrad la respuesta.
PRIMES_P. Hay una forma rápida de comprobar si un número entero es primo.
Es muy difícil para factorizar un número entero rápidamente. Dado que la comprobación de si un número es primo es igual a la comprobación de si se tiene más de dos factores, sería muy sorprendente si PRIMES_P eran verdaderas.
En la década de 1970, un estudiante de doctorado llamado Miller demostró que GRH implica PRIMES_P.† Unos 25 años después, una serie de pregrado proyectos de investigación por Pandey, Bhattacharjee, Kayal y Saxena culminó en una prueba, por Agrawal y los recién graduados Kayal y Saxena, que PRIMES_P es cierto.
WG (débil de Goldbach). Todo número impar mayor que cinco es la suma de tres números primos.
Esta conjetura es una consecuencia de la famosa conjetura de Goldbach, que afirma que todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos. La conjetura de Goldbach se ha resistido a la prueba durante cientos de años, por lo que incluso acaba de encontrar pruebas para demostrar WG sería sorprendente.
En la década de 1920, sin embargo, el famoso matemático dúo de Hardy y Littlewood, encontraron evidencia de que la GRH implica WG.† En la década de 1990, Deshouillers, Effinger, te Riele, y Zinoviev confirmó que GRH implica WG.† 15 años más tarde, Helfgott demostrado WG.†
SN (Skewes' número). Como $n$ crece, el número de números primos de $1$ a través de $n$ superará $$\int_0^n \frac{dt}{\log t}$$ antes de $n$ alcanza $$10^{10^{10^{964}}}.$$
Littlewood demostrado en la década de 1910 que el número de números primos de $1$ a través de $n$ superará integral eventualmente, pero nadie lo ha visto pasar. Diciendo que tiene que suceder antes de que un cierto valor de $n$ es bastante audaz como predecir el apocalipsis!
Sin embargo, Skewes demostrado en la década de 1930 que GRH implica SN.† Luego, en la década de 1950, Skewes demostrado SN.†
CN (número de clase). Hay sólo un número finito imaginario cuadrática campos con la clase número uno.
Los números se pueden construir a partir de los enteros y $\sqrt{-43}$ sumando, restando, multiplicando y dividiendo en forma coherente el sistema de numeración, llamado un "imaginario cuadrática campo." Si usted comienza a partir de $\sqrt{-1}$ o $\sqrt{-19}$ o algún otro de la raíz cuadrada de un número entero negativo, usted consigue un nuevo imaginario cuadrática campo. Cada imaginario cuadrática campo está marcado por un número llamado su "número de la clase." Imaginario cuadrática campos con la clase número uno son especiales, y que parece ser muy rara. La conjetura de la CN dice que son increíblemente raros: entre la infinita variedad de los imaginarios cuadrática campos, hay sólo un número finito con la clase número uno.
En la década de 1910, Gronwall demostrado que GRH implica CN.† Específicamente, ¿qué Gronwall demostrado es que GRH implica un poco más débil conjetura, WGRH, lo que implica CN.† Más tarde, Deuring, Mordell, y Heilbronn probado CN.† Lo hicieron en una extraña manera: se demostró que la negación de WGRH también implica CN!†
Me gustaría añadir un aspecto a tu pregunta, que no ha sido tocado por ninguna de las otras respuestas hasta el momento:
Evidencia juega un papel importante en el día actual de las matemáticas.
Vectornaut ya se ha mencionado un ejemplo de esto. Permítanme dar otro, que tiene un tipo diferente de sabor.
Me gustaría hablar acerca de los grandes cardenales, pero antes de hacerlo, permítanme dar una definición de que es adecuado para nuestros propósitos. Digamos que $\kappa$ es un gran cardenal iff hay un conjunto teórico fórmula $\phi$ tal que $$\operatorname{ZFC} + \phi(\kappa) \vdash "\text{there is some weakly inaccessible cardinal } \mu \le \kappa"$$ (Por favor, tenga en cuenta que el término gran cardenal no tiene una definición generalizada en la literatura y que hay propiedades que la gente (incluido yo) habría sentido como el gran cardenal propiedades, pero no satisfacen la definición anterior).
Usando mi definición, y suponiendo que las $\operatorname{ZFC}$ es consistente, no podemos demostrar que hay una gran cardenal de la propiedad $\phi$ y un cardenal $\kappa$ tal que $\phi(\kappa)$ mantiene. De hecho, la hipótesis de que cualquier gran cardenal existe es estrictamente más fuerte que la suposición de que $\operatorname{ZFC}$ tiene un modelo y parece razonable creer que los grandes cardenales tienen que llevar a contradicciones. En el pasado ha habido algunos ejemplos de grandes propiedades cardinales que resultó ser incompatibles (véase, por ejemplo, Reinhardt cardenales).
Sin embargo, en los últimos 40 años, la gente intensamente estudiados grandes cardenales y donde poder derivar sorprendente y hermosa teoremas de su existencia. (Por ejemplo, la existencia de $n$ Woodin cardenales y medibles por encima de todos ellos implica que $\bf{\Pi}^{1}_{n+1}$-determinación tiene, para todas las $n < \omega$. Y a la inversa, para cualquier $n < \omega$, $\bf{\Pi}_{n+1}^{1}$ implica la existencia de un interior modelo con $n$ Woodin cardenales.
Ya que no podemos probar que una determinada gran cardenal hipótesis es consistente, relativa a $\operatorname{ZFC}$, tenemos que confiar en la evidencia, en lugar de la prueba. Una manera de 'fortalecer' este enfoque es, en un gran cardenal de la propiedad $\phi$, para el estudio más grande de los cardenales $\lambda$ de manera tal que la existencia de $\lambda$ implica la existencia de muchos de $\kappa < \lambda$ tal que $\phi(\kappa)$ mantiene. Si no podemos probar que, en este contexto, que la existencia de $\lambda$ es incoherente, esta es la evidencia más fuerte para la consistencia de la existencia de $\kappa$ tal que $\phi(\kappa)$ sostiene, que sólo el hecho de que no hemos sido capaces de demostrar la inconsistencia de tales $\kappa$. Obviamente, esto no es rigurosa en el sentido de que podemos estar seguros de que un gran cardenal hipótesis es consistente, pero lo mismo es cierto para $\operatorname{ZFC}$ sí. Empujando sus límites de uno sólo reúne pruebas y - con el tiempo - las ganancias de algunos razonable confianza en su consistencia.