Esta pregunta pertenece al álgebra y en el álgebra, pertenece a las permutaciones y combinaciones (combinatoria).
Cómo demostrar que para cualquier permutación $a$ de $t$ elementos, tenemos $sign(a)=(-1)^t$ ?
Respuesta
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vbNewbie
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Debe escribir su pregunta con claridad. Sin embargo, según he entendido, su pregunta es sobre el signo de una permutación. Aquí son los detalles. Véase, por ejemplo, la definición $2.3.$ en la página $3$ .
Ahora, para responder a su pregunta. Es una afirmación falsa. Voy a discutir en detalle. Cada permutación puede ser clasificada como incluso permutación (es decir, número par de transposiciones) o como impar permutación (es decir, el número impar de transposiciones). Entonces signo es una etiqueta adjunta a cada permutación. Por ejemplo, si $\sigma \in S_n$ sea una permutación sobre el conjunto $\{1,~2, \cdots,n\}$ se puede escribir como un producto de digamos,r, transposiciones (es decir, $2$ -) de la siguiente manera $$\sigma=\tau_1 \tau_2 \cdots \tau_r.$$ Definimos signo de $\sigma$ por $sign(\sigma)=(-1)^r=\pm1.$
Ahora en tu pregunta, has definido la permutación $\sigma$ por la letra $a$ . Está bien. Usted está haciendo la permutación en $t$ elementos $\{1,~2, \cdots, t \}$ . En particular, dejemos que $t=4$ Entonces, su $a$ es una permutación en $4$ sysmbols $\{1,2,3,4 \}$ . Entonces considera una permutación, digamos, $a=(1234)=\begin{pmatrix} 1 & 2& 3 &4 \\ 2 & 3 & 4 &1\end{pmatrix}$ . Entonces $a$ puede expresarse como un producto de transposiciones $a=(1234)=(12)(13)(14)(23)(24)(34)=\tau_1 \tau_2 \tau_3 \tau_4 \tau_5 \tau_6,$ decir.Entonces hay $r=6$ transposiciones de $a=(1234)$ y por lo tanto su signo viene dada por (fórmula anterior) $sign(a)=(-1)^6=1=(-1)^t$ para $t=4$ .
Editar: Si tomamos la permutación $a=(12)(3)(4)$ . Aquí sólo hay una transposición $(12)$ y así $r=1$ . De ahí su signo viene dada por $sign(a)=(-1)^r=(-1)^1=-1 \neq (-1)^t=(-1)^4=1$ . De ahí que su afirmación sea falsa.
