Me gustaría demostrar que si $A$ es una retracción de la deformación de $V$ , donde $A \subset V \subset X$ entonces $H_n(X,V) \simeq H_n(X,A)$ utilizando el lema de los cinco. Pensé que podía llegar al diagrama a partir de la secuencia exacta de pares de $(X,V)$ y $(X,A)$ de la siguiente manera. Considere
$$ \cdots \longrightarrow H_n(V) \longrightarrow H_n(X) \longrightarrow H_n(X,V) \longrightarrow H_{n-1}(V) \longrightarrow H_{n-1}(X) \longrightarrow \cdots$$
$$ \cdots \longrightarrow H_n(A) \longrightarrow H_n(X) \longrightarrow H_n(X,A) \longrightarrow H_{n-1}(A) \longrightarrow H_{n-1}(X) \longrightarrow \cdots$$
En cuanto a la flecha vertical podría utilizar el isomorfismo $i_* : H_n(A) \longrightarrow H_n(V)$ inducido por la equivalencia homotópica $i$ . Me gustaría concluir que $H_n(X,A) \simeq H_n(X,V)$ completando el diagrama con el mapa inducido por la identidad de $X$ , $id_* : H_n(X) \longrightarrow H_n(X)$ pero no sé si el diagrama conmuta para aplicar correctamente el lema de los cinco, para explotar la naturalidad del homomorfismo de conexión $\partial : H_n(X,A) \longrightarrow H_{n-1}(A)$ Cualquier ayuda se agradece.
