Mostrar $\frac{f(z)}{\sin(\pi z)} = \sum_{-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^nf(n)}{(z-n)}$

Question

Dejemos que $f(z)$ sea una función entera que satisfaga $|f(x+iy)| \leq Ce^{a|y|}$ para $C > 0$ y $a \in (-\pi, \pi).$

Mostrar $\frac{f(z)}{\sin(\pi z)} = \sum_{-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^nf(n)}{(z-n)}$

Lo único que he notado en este problema es que los polos del LHS coinciden con los polos del RHS. He pensado en utilizar el teorema del residuo, pero no sé cómo va a determinar si dos funciones son iguales. Lo más importante es que no entiendo la condición de limitación. Por favor, ayúdame, cualquier pista será buena.

Answer 1

Poner $g(z)=f(z)\sin(\pi z)^{-1}$ . Desde $f(z)$ está completo, $g(z)$ tiene polos simples en $a_n=n$ con residuos $b_n=\text{Res}(g(z); n) = f(n)\text{Res}(\csc(\pi z); n) =\frac{(-1)^n}\pi f(n)$ . Sobre los contornos sugeridos por Yiorgios S. Smyrlis, $|\sin(\pi z)|$ está limitada por debajo por $\cosh(\pi\text{Im}z)$ o $|\sinh(\pi(n\pi + \pi/2))|$ así que $|g(z)|$ está limitada por $Ce^{a|\text{Im}z|}\cosh(\pi|\text{Im}z|)^{-1}$ en los lados verticales de $\gamma_n$ o $Ce^{a|\text{Im}z|}\sinh(\pi|\text{Im}z|)^{-1}$ en los lados horizontales. Aplicando la regla de L'Hopital se obtiene $Ce^{a|\text{Im}z|}\sinh(\pi|\text{Im}z|)^{-1}$ tiende al infinito como $Ce^{a|\text{Im}z|}\cosh(\pi|\text{Im}z|)^{-1}$ . Por la hipótesis de $a$ Esto demuestra que para $z\in \gamma_n$ , $|g(z)|\to 0$ como $|\text{Im}z|\to \infty$ mientras que permanece acotado cerca de la línea real. En particular, $\left|\frac w{2\pi i}\int_{\gamma_n}\frac{g(z)}{z-w}\right|\to 0$ como $n\to \infty$ . Si $w$ no es un polo de $g$ y $\gamma_n$ rodea $w$ el residuo Thm. da $$\frac 1{2\pi i}\int_{\gamma_n}\frac{g(z)}{z-w}\text{d}z=g(w)+\sum_{a_k \text{ in }\gamma_n} \frac{b_k}{a_k-w}=g(w)+\frac 1\pi\sum_{|k|\le n}\frac{(-1)^kf(k)}{k-w}$$ Dejar $n\to \infty$ rinde $$\frac{f(z)}{\sin(\pi z)}=\frac 1\pi \sum_{k=-\infty}^\infty\frac{(-1)^kf(k)}{w-k} $$

Answer 2

Sugerencia: utilice la desigualdad dada para demostrar que el LHS sigue estando acotado como $|z| \to \infty$ mediante valores no enteros. Entonces verifique que el LHS $-$ El RHS es una función entera y se aplica el Teorema de Loiville.

Answer 3

Pista. Aplicar el Teorema de Mittag-Leffler, a $$ g(z)=\frac{f(z)}{\sin \pi z} $$ utilizando la secuencia de contornos $\gamma_n$ , $n\in\mathbb N$ que son cuadrados con vértices $(n+1/2)(\pm 1\pm i)$ .