Especialización principal de la función Schur

Question

Dejemos que $s_{\lambda}(p_1,p_2,)$ denotan la función schur en base simétrica de la potencia. Más precisamente $$ s_{\lambda}=\sum_{\mu}\chi_{\mu}^{\lambda}p_{\mu}|k_{\mu}|.(*)$$ $p_i=\sum_k x_k^i$ . Para una mayor notación y claridad, siga http://users.math.msu.edu/users/sagan/Papers/Old/schur.pdf

Mi pregunta es la siguiente si tomamos la especialización principal que reemplaza $p_k$ por $x^k$ en la ecuación (*) obtenemos \begin{equation} \begin{split} s_{\lambda}(x,x^2,\ldots)& \neq 0 if \lambda\qquad \text{is trivial partition}\\ & = 0 \qquad otherwise \end{split} \end{equation} La ecuación anterior es un hecho bien conocido y la prueba no es difícil. Ahora bien, si sustituyo $p_k$ con $sx^k$ donde $s$ es otro determinante obtengo la siguiente forma

\begin{equation} s_{\lambda}(sx,sx^2,sx^3,\ldots)=x^{|\lambda|}\prod_{\Box\in \lambda}\frac{s+c(\Box)}{h(\Box)} \end{equation} donde $c(\Box)$ denotan el contenido de los cuadros $\lambda$ y $h(\Box)$ denotan la longitud del gancho de cada caja. \ ¿Puede alguien citar una prueba?

Answer 1

La espina dorsal de la prueba se basa en el hecho denominado en la literatura como {\textbf{fórmula de contenido de Stanley Hook }}[\cite{MR1676282},Cor. 7.21.4] que establece que el número de cuadros jóvenes semi-estándar de forma $\lambda$ obtenido por llenando los cuadros con números enteros positivos $i$ tal que $1\leq i \leq s $ viene dada por $$ \prod_{\Box \in \Lambda} \frac{s+c(\Box)}{h(\Box)}. $$ Dada una partición $\lambda$ la función de Schur asociada se define como $$ s_{\lambda}({\bf{x}})=\sum_{T}x^{T} $$ para una notación más detallada nos referimos a Bruce sage \cite{} sección 4.4. Ahora bien, si colocamos $x_{1}=1,\ldots,x_{s}=1$ y $x_{k}=0\forall k>s$ entonces usando la fórmula de Stanley Hook-content obtenemos $$ s_{\lambda}(x_{1},\ldots)|_{x_{i}=x} = \prod_{\Box \in \Lambda} \frac{s+c(\Box)}{h(\Box)}. $$ Ahora utilizando la base simétrica de la suma de potencias denotada por $p_{i}$ La función schur se escribe como sigue. \begin{equation} s_{\lambda}(p_{1}\ldots)=\frac{1}{n!}\sum_{\mu}\chi_{\mu}^{\lambda}p_{\mu}|k_{\mu}| \end{equation} donde $|k_{\mu}|$ denotan la cardinalidad de la clase de conjugación correspondiente a $\mu$ . $p_{\mu}=\prod_{i} p_{\mu_{i}}.$ Sustituyendo $p_{i}=sx^{i}$ en la eq(1) sacan un factor $x^{|\lambda |}$ ya que todas son particiones de enteros fijos. Así que el R.H.S de la eq(1) se convierte en lo siguiente $$x^{|\lambda |} s_{\lambda}(p_{1},\ldots)|_{p_{i}=s}.$$ Resolver la ecuación $p_{i}=s$ para todos $i$ nos da $x_{j}=1$ para $1\leq j \leq s$ y $x_{j}=0 , j > s$ por lo que nuestra proposición se desprende de la primera discusión de la prueba.