Cómo demostrar esta desigualdad de la secuencia $a_{n}+a_{n+1}<\frac{5}{2}\sqrt{n}$

Question

Pregunta:

dejar que la secuencia $\{a_{n}\}$ tal $a_{1}=1$ y $$a_{n+1}a_{n}=n$$ demostrar que

$$a_{n+1}+a_{n}<\dfrac{5}{2}\sqrt{n}$$

Mi intento: ya que $$a_{1}a_{2}=1\Longrightarrow a_{2}=1$$ así que $$a_{n+1}+a_{n}=a_{n}+\dfrac{n}{a_{n}}$$ dejar $$f(x)=\dfrac{n}{x}+x$$

entonces no puedo trabajar, ¡muchas gracias!

Answer 1

Una pista:

Un comienzo natural sería generar la fórmula para calcular $a_{n}$ en función de $a_{n-1}$ y $n$ . Esa función no se presta fácilmente a la delimitación, pero hay una función relacionada que es más fácil de trabajar.

Un rápido vistazo a la serie en forma de valor puede resultar útil para determinar qué números hay que relacionar entre sí.

1: 1
2: 1
3: 2
4: 1.5
5: 2.6666666666666665
6: 1.875
7: 3.2
8: 2.1875
9: 3.657142857142857
10: 2.4609375
11: 4.063492063492063
12: 2.70703125
13: 4.432900432900433
14: 2.9326171875
15: 4.773892773892774
16: 3.14208984375
17: 5.092152292152292
18: 3.338470458984375
19: 5.391690662278897
20: 3.523941040039063
21: 5.675463855030418
22: 3.700138092041016
23: 5.945724038603295
24: 3.8683261871337895
25: 6.204233779412133
26: 4.029506444931031
27: 6.4524031305886185
28: 4.184487462043763
29: 6.691381024314123
30: 4.33393344283104