Intentaré responder a mi propia pregunta después de hacer un pequeño cálculo con el lápiz y la mente.
Empecemos por el principio, tomando el logaritmo de ambos lados $$\ln\left(\alpha!\right) \leq \ln\left(2^{n|\alpha|!}\right)$$ Ahora utilizamos las propiedades de los registros y las definiciones de los índices múltiples.
$$\ln\left(\prod_i \alpha_i!\right) \leq \ln\left(2^{n\left(\sum_i \alpha_i\right)!}\right)$$
$$\sum_i \ln\left(\alpha_i!\right) \leq n\left(\sum_i \alpha_i\right)! \ln(2)$$
Recuerda que todas las sumas y los productos son finitos.
Ahora dividimos ambos términos por $\prod_i \alpha_i!$
$$\frac{\sum_i \ln\left(\alpha_i!\right)}{\prod_i \alpha_i!} \leq n\color{red}{\frac{\left(\sum_i \alpha_i\right)!}{\prod_i \alpha_i!}}\ln(2)$$
Donde resalté en rojo ese término porque eso no es más que el multinomio. De hecho (un pequeño paso atrás en la combinatoria) el multinomio
$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)!\over x_1!x_2!\cdots x_n!$$
cuenta el número de formas de colocar $x_k$ objetos en la caja $k$ para $1\le k\le n$ . A partir de aquí utilizamos otra desigualdad verdadera, es decir
$${(x_1+x_2+\cdots+x_n)!\over x_1!x_2!\cdots x_n!}\le n^{x_1+x_2+\cdots+x_n}$$
con igualdad sólo en casos triviales, donde
$$n^{x_1+x_2+\cdots+x_n}$$
cuenta el número de formas en que se puede asignar una caja a cada objeto, lo que equivale a poner objetos en cajas sin restricción en el número de objetos que van en cualquiera de las cajas. Con estas interpretaciones la desigualdad se mantiene como se muestra arriba.
Teniendo esto en cuenta, considerando la $x_i$ son nuestros $\alpha_i$ podemos reescribir nuestra desigualdad como
$$\ln\left(\prod_i \alpha_i!\right) \leq \prod_i \alpha_i! \ln(2) n^{1 + |\alpha|}$$
lo que significa
$$\ln(\alpha!) \leq \alpha! n^{1 + |\alpha|}\ln(2)$$
Ahora bien, siempre es cierto que $n^{1 + |\alpha|} \geq n $ y la igualdad se mantiene en el caso trivial (un multiíndice nulo). Por lo tanto, al exponer
$$\alpha! \leq 2^{\alpha!\cdot n^{1 + |\alpha|}}$$
a saber:
$$\alpha! \leq 2^{\alpha!\cdot n}$$
Dado que el mismo término $\alpha!$ aparece tanto en el lado izquierdo como término único como en el lado derecho como argumento de una exponencial de base mayor que $1$ y como siempre hemos $n > 0$ esta desigualdad se cumple $\forall n \in \mathbb{N}$ , $\forall \alpha$ multiíndice, $\forall \alpha_i$ elemento del multiíndice ya que $\alpha_i$ es $0$ o un número natural.
Mejora
Podemos ver que la última desigualdad es una mejora de la inicial, ya que esta última es obvia y ya que $|\alpha|! \geq \alpha!$ . Esto significa que $$\alpha! \leq 2^{n\cdot \alpha!}$$
es más fuerte en el sentido de que rebaja la grandeza de la mayorización. En palabras llanas es como pasar de decir $2 < 10$ a $2 < 4$ .
