¿Son las variedades de Banach (u otros tipos de variedades de dimensión infinita) meras curiosidades, o se han utilizado para demostrar algunos resultados interesantes/importantes? ¿Dónde aparecen? ¿Ejemplos importantes?
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CarolinaJay65
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Esto se engloba en algunos de los ejemplos más extravagantes anteriores, pero un buen ejemplo "clásico" de colectores naturales de dimensión infinita es el espacio de trayectorias que conectan dos puntos en una colector base de dimensión finita. Por ejemplo, una interpretación natural de la derivación de las ecuaciones de Euler a partir del Cálculo de Variaciones consiste en encontrar los puntos de la variedad de caminos en los que la derivada del funcional de acción desaparece. Si se utiliza el funcional de longitud se obtienen las ecuaciones geodésicas de una variedad riemanniana. Si se da un paso más y se estudia la segunda derivada en la variedad de la trayectoria, se obtienen algunos teoremas interesantes que relacionan la curvatura de la variedad base y su topología.
Schof
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Malliavin introdujo su análisis de los funcionales en el Espacio Wiener para obtener una demostración probabilística del teorema de Hoermander.
El teorema de Hoermander afirma que la ecuación de calor generalizada en R^n tiene una solución suave w revisar del "análisis estocástico" de Malliavin
Zack Peterson
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19350
Grupos de bucles (espacios de mapas $S^1 \to G$ donde $G$ es un grupo de Lie) son buenos ejemplos de variedades de dimensión infinita, y son importantes en la física y la teoría de cuerdas. Tienen una teoría rica e interesante, cuyos fundamentos se desarrollan, por ejemplo, en el libro "Loop Groups" de Pressley y Segal. Véase también el artículo "Unitary representations of some infinite dimensional groups" de Segal. En cuanto a resultados interesantes, está el reciente trabajo de Freed-Hopkins-Teleman que relaciona la teoría de representaciones del grupo de bucles $LG$ ("anillo de Verlinde") y el equivariante retorcido $K$ -teoría del grupo de Lie $G$ .
En general, las cosas de dimensión infinita surgen a menudo en la teoría cuántica de campos. Por ejemplo, los campos que se consideran pueden ser secciones de un haz vectorial, o digamos espacios de mapas de superficies en una variedad. Es importante entender estos espacios de campos, porque queremos hacer "integrales" sobre ellos.
Aquarion
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El espacio de Wasserstein de una variedad riemanniana compacta es el conjunto de medidas de probabilidad de Borel dotadas de una distancia definida mediante el transporte óptimo (aproximadamente, la distancia entre dos medidas es el menor coste necesario para transportar una a la otra, dado que cuesta $m d^2$ para mover una cantidad $m$ de la masa por una distancia $d$ .) Otto se dio cuenta de que este espacio de Wasserstein puede considerarse como una variedad de dimensión infinita. Utilizó esta idea para convertir algunas EDP en flujos de gradiente en el espacio de Wasserstein, con el objetivo de obtener más fácilmente resultados de existencia y unicidad. Debo añadir que Gigli ha propuesto recientemente un marco riguroso para la estructura diferenciable de los espacios de Wasserstein.
Marcus Eldh
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Están lejos de ser sólo curiosidades.
Las variedades de Finsler de dimensión infinita son herramientas fundamentales en el cálculo variacional. Hay muchos artículos antiguos/recientes que tratan de la teoría de Lusternik-Schnirelmann de dimensión infinita.
Sólo para seleccionar uno (perdón por escribir el hipervínculo en tres líneas, pero parece que es la única manera, no sé por qué):
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AIHPC/AIHPC_1988__5_2/
AIHPC_1988__5_2_119_0/
AIHPC_1988__5_2_119_0.pdf
[y sus referencias].
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