¿Son las variedades de Banach (u otros tipos de variedades de dimensión infinita) meras curiosidades, o se han utilizado para demostrar algunos resultados interesantes/importantes? ¿Dónde aparecen? ¿Ejemplos importantes?
Respuestas
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Aaron Wagner
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4556
David Ebin y Jerry Marsden demostraron en un artículo de 1970 en los Anales que las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes están bien planteadas para cantidades cortas de tiempo. Este resultado utiliza la geometría de las variedades de dimensión infinita de una manera muy fundamental: el espacio de configuración de un fluido incompresible en un recipiente $M$ es el grupo de difeomorfismos preservadores del volumen $\mathrm{Diff}_{\mathrm{vol}}(M)$ de $M$ y esto es, por supuesto, una variedad de dimensión infinita. La prueba se basa entonces en el hecho de que las ecuaciones de Euler definen un campo vectorial hamiltoniano en este espacio, y desenrollando cuidadosamente las definiciones y colocando todo en el espacio de Sobolev correcto se pueden utilizar esencialmente los teoremas de existencia y unicidad de las EDO para demostrar el resultado deseado.
Por supuesto, estoy pasando por alto muchos detalles. Uno de los problemas, por ejemplo, al tratar de hacer rigurosa esta idea es que el término convectivo $\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$ en las ecuaciones de Euler conduce a la pérdida de la derivada, pero esto puede superarse reescribiendo las ecuaciones en forma lagrangiana. Si se quiere hacer todo este recorrido de ida y vuelta de forma adecuada, se necesita una buena comprensión de la geometría subyacente de $\mathrm{Diff}_{\mathrm{vol}}(M)$ .
En mi opinión, se trata de un resultado bastante sorprendente, ya que es a la vez potente y conceptualmente muy claro. Básicamente no hay estimaciones difíciles en el artículo, sino aplicaciones de los teoremas de incrustación de Sobolev, descomposiciones de Hodge, propiedades de los campos vectoriales, .... El análisis global en su máxima expresión.
ninesided
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179
Espacios Eilenberg Maclane son elementos básicos de la teoría de la homotopía.
Dror Farjoun dijo en la primera clase de un curso de topología algebraica que consideraba que uno de los principales avances conceptuales de la topología algebraica en la segunda mitad del siglo XX era la constatación de que las variedades de dimensión infinita no tenían por qué ser horribles y aterradoras, y que podían ser bastante útiles.
Arda Xi
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1099
Espacio de Moduli de Hitchin en Langlands geométrico se obtiene por una reducción a partir de un espacio de conexiones de dimensión infinita. Véase
- el documento original de Hitchin Paquetes estables y sistemas integrables (gracias a Charles Siegel)
- papel de Witten La dualidad eléctrico-magnética y el programa geométrico de Langlands para ver por qué es útil.
RWL01
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317
Espacios de chorro infinitos se utilizan ampliamente en la teoría geométrica de las EDP, por ejemplo, cuando se trata de las simetrías superiores infinitesimales que surgen en el estudio de sistemas integrables .
Nauman
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Las variedades de Fréchet aparecen en algunas situaciones de "geometría superior". Aquí hay tres que me gustan especialmente:
1.) El grupo de bucles suaves (ambos basados en 1 o libres) en un grupo de Lie forma un bonito grupo de Lie de dimensiones infinitas. Estos resultan ser excepcionalmente útiles en los sistemas integrables. Por ejemplo, existe la representación de Weierstrass generalizada de Dorfmeister-Pedit-Wu, que da una parametrización explícita de los mapas armónicos a espacios simétricos en términos de algunos datos holomórficos en un grupo de bucles.
2.) Len Gross utiliza el colector de Fréchet de trayectorias suaves a trozos en $\mathbb{R}^n$ para analizar el problema de las copias de campo. Se trata de la cuestión de que dos (noabelianos) $\mathfrak{g}$ -conexiones valoradas en $\mathbb{R}^n$ pueden tener la misma curvatura sin ser equivalentes gauge. Esto es bastante extraño; los observables de un campo gauge se construyen a partir de la curvatura, pero con las copias de campo tienes dos campos no equivalentes con los mismos observables. Al menos, así lo entiendo yo. Tengo curiosidad por saber si hay una explicación más sencilla.
3.) Brylinski hace algunas cosas con los colectores de Fréchet de bucles en un colector en su libro. No lo tengo a mano como referencia, pero hay algunas observaciones interesantes. Por ejemplo, el espacio de trayectorias de un colector simpléctico es casi complejo.
