¿Resultados importantes que utilizan variedades de dimensión infinita?

Question

¿Son las variedades de Banach (u otros tipos de variedades de dimensión infinita) meras curiosidades, o se han utilizado para demostrar algunos resultados interesantes/importantes? ¿Dónde aparecen? ¿Ejemplos importantes?

Answer 1

Algunos objetos bastante fundamentales en la teoría de los manifiestos son los manifiestos de Banach. Quizá el más sencillo sea el espacio de $C^k$ difeomorfismos de una colmena compacta M para $k > 0$ finito. Por supuesto, hay todo tipo de variaciones sobre este tema: espacios de incrustación, difeomorfismos que preservan una estructura de algún tipo, el espacio de mapas suaves entre dos variedades, etc.

Así que se utilizan para demostrar una variedad de resultados, y son los "objetivos" de muchos teoremas importantes. Por ejemplo, el teorema de Smale sobre el tipo de homotopía de $Diff(S^2)$ o el teorema de Smale-Hirsch sobre el tipo de homotopía del espacio de inmersiones de una variedad en otra. El teorema de Palais de que los mapas de restricción son haces de fibras (más fácilmente considerados como fibraciones) fue utilizado por Fadell y Neuwirth para demostrar que los grupos puros de trenzas son productos semidirectos iterados de grupos libres. El hecho de que $Diff(S^1)$ tiene el tipo de homotopía de $O_2$ dice que un haz de círculos sobre un espacio es siempre equivalente a un haz de círculos con grupo estructural lineal, etc.

En mi opinión, la respuesta a tu pregunta puede resumirse en una pequeña observación: si valoras los colectores, es natural que valores los automorfismos de los colectores y los espacios de mapeo de los colectores. Y dado que estos espacios de mapeo tienen una estructura natural (de un colector de Banach) ciertamente eso debería ser relevante.

Answer 2

Como contrapunto a algunas de las otras respuestas, en realidad las variedades de Banach (y Hilbert) no son tan útiles como cabría esperar. Dos indicadores de esto son:

1. Todas las variedades de Hilbert son difeomorfas a un subconjunto abierto del espacio modelo. (Creo que esto también es válido para las variedades de Banach, pero no estoy lo suficientemente seguro). En particular, cualquier variedad de Hilbert es paralelizable, por lo que el espacio tangente no contiene información.

2. Si un grupo de Lie de Banach actúa fielmente sobre una variedad de dimensión finita, entonces el grupo es de dimensión finita. Por tanto, no existe un modelo de Banach de difeomorfismos (como grupo de Lie).

Así que las variedades de Banach y Hilbert tienden a utilizarse como lugares para poner otras cosas. Son lo suficientemente grandes como para contener casi todo, pero lo suficientemente simples como para no añadir ninguna complicación adicional. Esto hace que se utilicen como ejemplos extremos de "espacios muy grandes" y significa que, para cualquier situación particular, a menudo se puede reducir lo infinito a lo finito (pero muy grande). Así, por ejemplo, con respecto a la representación de la teoría K, para cualquier particular una variedad de dimensión finita, hay un Grassmanniano de dimensión finita que servirá, pero si se quiere representar la teoría K para todo de dimensiones finitas, entonces se necesita un grassmanniano de dimensiones infinitas.

Sin embargo, la situación cambia una vez que se permiten otros espacios modelo (la categoría más grande de ellos es la de conveniente espacios vectoriales, cuya introducción es una lectura muy interesante sobre el cálculo en dimensiones infinitas). Allí se puede obtener, y se obtiene, un comportamiento mucho más interesante y se descubre que se pueden estudiar los colectores de dimensiones infinitas como objetos por derecho propio .

Un ejemplo de ello es la noción de semi-infinito estructura. Esto, casi por definición, sólo está disponible en dimensiones infinitas (hay sombras en las finitas) y ha demostrado ser una importante fuente de ideas, si no de técnicas reales.

Por supuesto, muchas de las técnicas implican volver a reducir las cosas a dimensiones finitas en el análisis final, pero eso se debe a que queremos realmente calcular algo y así terminar con un número; y la forma más fácil de obtener un número es contar un número finito de cosas. Pero eso no es diferente de cualquier otro cálculo, así que no debería verse como una desventaja.

Así que volvamos a la pregunta original. Bueno, en realidad no tengo una buena respuesta porque trabajo con variedades de dimensión infinita, así que no paso tiempo preocupándome por lo que otros quieren aplicar a este trabajo, simplemente me pongo a ello. Pero no obstante, un tema que veo mucho es el de que la "imagen" de dimensión infinita es la a la derecha y la que da la intuición de cómo encajan las aproximaciones de dimensión finita.

Así vemos que la teoría de Floer es en realidad la teoría de Morse aplicada a los espacios de bucles, pero no muchos calcular como tal. Vemos que el género elíptico es (¡era originalmente!) en realidad teoría de índices aplicada a los espacios de bucles, ¡pero de nuevo eso no es útil para los cálculos!

En general, en cualquier lugar donde tengas funciones que puede variar, tienes una infinidad de dimensiones y te conviene recordarlo porque te puede dar ideas importantes sobre cómo proceder.

Answer 3

Es necesario utilizar el teorema de la función implícita y el teorema de Sard en el entorno de las variedades de Banach para hacer despegar la teoría de las curvas J-holomorfas, que es uno de los pilares de la topología simpléctica.

Answer 4

Los grassmanianos de dimensión infinita y sus haces tautológicos surgen en la teoría K topológica y el bordismo. Véase el artículo de Thom Algunas propiedades globales de las variedades diferenciables .

Answer 5

David Ebin y Jerry Marsden demostraron en un artículo de 1970 en los Anales que las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes están bien planteadas para cantidades cortas de tiempo. Este resultado utiliza la geometría de las variedades de dimensión infinita de una manera muy fundamental: el espacio de configuración de un fluido incompresible en un recipiente $M$ es el grupo de difeomorfismos preservadores del volumen $\mathrm{Diff}_{\mathrm{vol}}(M)$ de $M$ y esto es, por supuesto, una variedad de dimensión infinita. La prueba se basa entonces en el hecho de que las ecuaciones de Euler definen un campo vectorial hamiltoniano en este espacio, y desenrollando cuidadosamente las definiciones y colocando todo en el espacio de Sobolev correcto se pueden utilizar esencialmente los teoremas de existencia y unicidad de las EDO para demostrar el resultado deseado.

Por supuesto, estoy pasando por alto muchos detalles. Uno de los problemas, por ejemplo, al tratar de hacer rigurosa esta idea es que el término convectivo $\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$ en las ecuaciones de Euler conduce a la pérdida de la derivada, pero esto puede superarse reescribiendo las ecuaciones en forma lagrangiana. Si se quiere hacer todo este recorrido de ida y vuelta de forma adecuada, se necesita una buena comprensión de la geometría subyacente de $\mathrm{Diff}_{\mathrm{vol}}(M)$ .

En mi opinión, se trata de un resultado bastante sorprendente, ya que es a la vez potente y conceptualmente muy claro. Básicamente no hay estimaciones difíciles en el artículo, sino aplicaciones de los teoremas de incrustación de Sobolev, descomposiciones de Hodge, propiedades de los campos vectoriales, .... El análisis global en su máxima expresión.