Toma una bola de coordenadas regular y obtienes un colector con límite.

Question

Supongamos que $M$ es una variedad (topológica) de dimensión $ n \geq 1$ y $B$ es una bola de coordenadas regular en $M$ . Demostrar que $M\backslash B$ es un $n$ -con límite y cuyo límite es homeomorfo a $S^{n-1}$

Bien, esto es lo que tengo. $M\backslash \overline{B}$ es un espacio abierto en $M$ y por lo tanto es localmente euclidiano. Así que lo que queda es demostrar que $\partial B$ el límite de $B$ es el límite de $M\backslash B$ .

Aquí es donde utilizamos el hecho de que $B$ es una bola de coordenadas regular. Sabemos que existe una función $\phi: B' \to B_{r'}(x)$ tal que $\phi(B)=B_{r}(x)$ y $\phi(\overline{B})=\overline{B_{r}(x)}$ . Con esta información, sabemos que existe una vecindad de la frontera de $B$ , a saber $B' \cap M\backslash B$ que es homeomorfo a la clausura de una bola en $\mathbb{R}^n$ . Así que concluimos que $M\backslash B$ es un colector con límite.

Además, el límite del colector es el límite de B, que es homeomorfo a $S^{n-1}$ porque $\phi(\partial B)=\phi(\partial B_r(x))$ .

¿Esta prueba es hermética? ¿Cómo puedo hacerla más precisa? Por ejemplo, ¿cuál sería exactamente la vecindad del límite de B que sirve para demostrar que es el límite del colector?

Answer 1

No, su prueba es insuficiente (explicaré por qué al final de la respuesta). Tienes que revisar la noción de bola de coordenadas en un $n$ -de las dimensiones de la colmena $M$ de la siguiente manera:

Un subconjunto compacto $B\subset M$ se llama bola de coordenadas si existe un subconjunto abierto $U\subset M$ que contiene $B$ y un homeomorfismo $\phi: U\to U'\subset R^n$ (donde $U'$ está necesariamente abierto en $R^n$ ) tal que la imagen $\phi(B)$ es la bola unitaria $B'=\{x: |x|\le 1\}$ en $R^n$ .

Con esta definición la prueba de que $M-int(B)$ es un colector con límite (igual a la frontera topológica $fr(B)$ de $B$ en $M$ ) se hace sin esfuerzo: La afirmación es equivalente a la afirmación de que $U-int(B)$ es un colector con frontera (donde la frontera es igual a $fr(B)$ ), lo que equivale a la afirmación de que $U'- int(B')$ es un colector con límite (cuyo límite es igual a la esfera $S'=\{x: |x|=1\}$ ). Esto último se puede demostrar, por ejemplo, aplicando proyecciones estereográficas (con centros en los polos norte y sur de la esfera $S'$ enviando $\{x: |x|>1\}$ al semiespacio superior $\{x: x_n> 0\}$ .

Ahora, un ejemplo que muestra que tu noción de bola de coordenadas es insuficiente. Existen ejemplos de _esferas salvajes_ $S\subset R^3$ que separan $R^3$ en dos componentes: El cierre $B$ de un componente es homeomorfo a la bola unitaria cerrada. (Piensa en esto como tu "bola de coordenadas" en $R^3$ .) Por otro lado, el cierre del otro componente (llamaré a este cierre $C$ ) no es un colector con límite . Esto último se debe a que $S$ está "anudado". Una forma precisa de enunciar esta propiedad de anudamiento es en términos del grupo fundamental. Existen puntos $x\in S$ tal que para una vecindad arbitrariamente pequeña $G$ de $x$ en $C$ el mapa $$ \pi_1(G - S) \to \pi_1(int(C)) $$ no es trivial. (Hay bucles en $int(C)$ arbitrariamente cerca de $x$ que no se puede contraer a un punto en $int(C)$ .) Una variedad con límite no puede tener un comportamiento tan patológico.

Answer 2

Respondo aquí ya que la sección de comentarios no permite tantos caracteres, pero no considero esto como una respuesta, es sólo una lista de observaciones.

En primer lugar tu pregunta no está bien planteada, o al menos lo que preguntas es falso en general, es decir, considera el cono de 2 lados sin el vértice. Esta cosa es incluso un colector liso, pero si quitas una bola suficientemente grande con centro cerca del vértice lo que obtienes es un bounduary que es homeomorfo a la unión disjunta de 2 esferas.

Consideremos una superficie hiperbólica de rotación https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Una vez más, si eliges la bola lo suficientemente grande, tu afirmación es falsa.

Así pues, nos reducimos a deambular si existe un nhbd de puntos lo suficientemente pequeño, en el que eliminar una bola geodésica significa obtener una colector con ese bonduary (el shere $S^{n-1}$ ). Esto te lo da en las mallas suficientemente suaves el mapa exponencial que en las mallas que son al menos $C^2$ (por lo que yo sé), te da un difeomorfismo local suave entre la tangente y el colector, por lo que tu afirmación se deduce fácilmente por esta observación. En el caso general tienes que tu colector es sólo localmente homeomorfo a algún conjunto abierto en $R^n$ pero entonces puede utilizar los gráficos para realizar el mismo argumento que el anterior.