Dejemos que $X_1,X_2,...$ sea i.i.d. variables aleatorias y $f\colon\mathbb R^{r} \rightarrow \mathbb R$ sea una función simétrica de $r$ -variables. Para cada $n \ge r$ el estadístico U asociado se define como,
$$U_n := {n \choose r}^{-1}\sum_{1\le i_1<i_2<...<i_r\le n}f(X_{i_1},X_{i_2},...X_{i_r}),$$ que es claramente una función simétrica de $X_1,X_2,...X_n$ . Supongamos, $$Ef(X_1,X_2,...X_n) = 0,\quad E{f(X_1,X_2,...X_n)}^2 < \infty$$ y para $g(x):= Ef(x,X_2,...X_n)$ tenemos $$\eta^2 := Eg(X^2_1)>0$$ $$\text{Show that} \quad \frac{\sqrt{n}U_n}{r\eta} \rightarrow N(0,1) \quad \text{in distribution} \quad \text{as} \; n\rightarrow \infty $$
¿Es éste el teorema del límite central para las estadísticas U no degeneradas? ¿Existe alguna referencia para este tipo de CLT para las estadísticas U?
$\textbf{My initial idea is that}$
Tal vez pueda probar en primer lugar $\sqrt{n}\big|\big|U_n -\frac{r}{n}\sum^n_{i}g(X_i)\big|\big|_2 \rightarrow 0$ y utilizar algún teorema central del límite clásico. Pero estoy atascado en la demostración de la primera parte.
$\textbf{So my question is }$ cómo demostrar $\sqrt{n}\big|\big|U_n -\frac{r}{n}\sum^n_{i}g(X_i)\big|\big|_2 \rightarrow 0$ ?? ¿Podría darme algunos detalles al respecto? Gracias.
