Para comprobar la convergencia de la integral impropia $ \int_{0}^{\infty} \frac{x\log(x)}{(1+x^2)^2}\, \mathrm dx$

Question

Tengo que probar la convergencia de la integral impropia

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{x\log(x)}{(1+x^2)^2}\,\mathrm dx$$

Escribo como $\log(x) \leq x$ . Así que $x\log(x) \leq x^2$ . Así que $ \frac{x\log(x)}{(1+x^2)^2} \leq \frac{x^2}{(1+x^2)^2}$ . Ahora usando la prueba de comparación con la integral $\frac{1}{x^2}$ para conseguir que la integral original sea convergente. ¿Es eso correcto? No estoy seguro Gracias

Answer 1

Probablemente esto no sea una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

$$I=\int_{0}^{\infty} \frac{x\log(x)}{(1+x^2)^2}\, dx=\int_{0}^{1} \frac{x\log(x)}{(1+x^2)^2}\, dx+\int_{1}^{\infty} \frac{x\log(x)}{(1+x^2)^2}\, dx$$ Como ha comentado lab bhattacharjee, cambiar la variable $x=\frac 1y$ para la segunda integral; así que $$\int_{1}^{\infty} \frac{x\log(x)}{(1+x^2)^2}\, dx=\int_1^0 \frac{y\log(y)}{(1+y^2)^2}\, dy=-\int_0^1 \frac{y\log(y)}{(1+y^2)^2}\, dy$$ lo que hace que el hermoso resultado $I=0$ .

Answer 2

Demostraré que la integral converge evaluándola realmente. En primer lugar, consideremos la siguiente integral de contorno compleja: $$J:=\oint_C \frac{z \ln^2 z}{\left ( 1+z^2 \right )^2}dz$$ donde $C$ es un contorno de mancuerna representado aquí, con la rama cortada a lo largo de la parte positiva del eje real: Vemos que $$J=\int _{c1}+\int _{c2}+\int_{C_{R}} +\int _{C \epsilon}$$ Quiero demostrar que la integral a lo largo del círculo exterior de radio R tiende a cero para R grande. Recordemos el lema de estimación: $$\left | \int _{C_R}f\left ( z \right ) dz\right |\leq 2 \pi \frac{R^2\left ( \ln^2 R+\theta \right )}{\left ( R-1 \right )^4}, \theta \in \left [0, 2 \pi \right )$$ Tomando el límite como $R\rightarrow \infty$ y sabiendo que $ \ln x \leq x$ para grandes $x$ conseguimos que $\left | \int _{C_R}f\left ( z \right ) dz\right |\rightarrow 0$ Del mismo modo, demostramos que $\left | \int _{C\epsilon}f\left ( z \right ) dz\right |\rightarrow 0$ reconociendo el hecho de que $x \ln x \rightarrow 0$ como $x \rightarrow 0$ . Ahora sólo nos quedan dos integrales, a lo largo de C1 y a lo largo de C2. $$\int _{C1}f\left ( z \right )dz=\int_{0}^{\infty}\frac{x \ln ^2 x}{\left ( 1+x^2 \right )^2}dx$$ El argumento del registro tiene una fase de $2 \pi i$ a lo largo de C2, por lo que : $$\int _{C2}f\left ( z \right )dz=\int_{0}^{\infty}\frac{x \left ( \ln x +i2 \pi \right )^2}{\left ( 1+x^2 \right )^2}dx$$ La suma de todos ellos nos da como resultado : $$J:=-4 i \pi\int_{0}^{\infty}\frac{x \ln x}{\left ( 1+x^2 \right )^2}dx+4 \pi^2\int_{0}^{\infty}\frac{x dx}{\left ( 1+x^2 \right )^2} (*)$$ Por otro lado $$J:=2 \pi i \sum Res f\left ( z \right )$$ La función tiene polos de orden 2, en $z= \pm i$ Así que $$J:=2 \pi i \left ( i\frac{\pi}{4} -i\frac{\pi}{4}\right )=0(**)$$ Al equiparar $(*)$ y $(**)$ conseguimos que $$\int_{0}^{\infty}\frac{x \ln x}{\left ( 1+x^2 \right )^2}dx=0$$

y también $$\int_{0}^{\infty}\frac{x}{\left ( 1+x^2 \right )^2}dx=0$$

Answer 3

Dejar $u=x^2+1$ entonces $\frac{1}{2}\,\mathrm du=x\,\mathrm dx$ y $\log(x)=\log((u-1)^\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\log(u-1)$ . Con esa sustitución creo que la convergencia es más fácil de ver. La respuesta de Leibovici es la más bella, en mi opinión.