Me interesa la teoría de Lie y sus conexiones con la teoría de sistemas dinámicos. Estoy empezando mis estudios y me gustaría tener referencias de artículos sobre el tema.
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Las conexiones entre la dinámica y los grupos de Lie (o grupos algebraicos) son principalmente de dos tipos:
- La dinámica suave, como otros han dicho la dinámica hamiltoniana y las ecuaciones diferenciales.
- Aplicaciones de la teoría ergódica y de la dinámica topológica a los grupos de Lie (o, más generalmente, a los espacios homogéneos), o, como lo llama Lindenstrauss, a la dinámica homogénea.
El ámbito de la dinámica homogénea se divide de nuevo en dos áreas principales:
- "Aplicaciones geométricas", es decir, la mayoría de los trabajos de Margulis (rigidez y demás). Son problemas que tratan directamente de estas configuraciones.
- "Otras aplicaciones", principalmente aplicaciones teóricas de números, que básicamente pueden ser modeladas en tales espacios y métodos dinámicos (como la clasificación de órbitas o la clasificación de medidas) vienen a utilizar.
Me encuentro más experto en el lado de la 2.2, y no sé nada sobre la dinámica suave, así que te dejaré sólo una referencia - Katok-Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos que es una especie de enciclopedia general, y podría ser un buen lugar para comenzar su viaje.
Sobre la dinámica homogénea. El área no tiene una referencia habitual, y para ser exactos, apenas hay referencias. Un buen lugar para empezar sería Einsiedler,Ward - Teoría ergódica con vistas a la teoría de los números ; este libro relativamente nuevo en el GTM, que está bien escrito, y te da una introducción a la teoría ergódica, y en la última parte demuestra los teoremas de Ratner para SL_2 (Furstenberg, Danni, Danni-Smilie). También discute algunas de las dinámicas de los sistemas nilpotentes, como el grupo de Heisenberg (que es el punto de partida hacia el teorema de Green-Tao).
Para el lector más avanzado, el mejor lugar serían las propias notas de Elon - Notas de Lindenstrauss de un curso anterior en HU Otro buen lugar serían las actas de Clay Pisa, que contienen notas de conferencias de Eskin sobre los teoremas de Ratner, y un artículo de Lindenstrauss y Einsiedler sobre su trabajo en acciones diagonalizables. Si uno está especialmente interesado en los teoremas de Ratner, puede buscar en - El libro de Dave Morris sobre los teoremas de Ratner .
Para aquellos que estén interesados en los trabajos de Margulis (Arithmeticity y demás), sólo conozco dos referencias - Subgrupos discretos de Margulis de grupos de Lie semisimples que está descatalogado y es extremadamente difícil de encontrar (y también difícil de entender, se necesita cierta familiaridad con los grupos de Lie y los grupos algebraicos), y el otro es un libro de Zimmer - Teoría ergódica y grupos semisimples . Dave Morris tiene un borrador de un libro sobre grupos aritméticos que también podría ser de interés - Morris - Introducción a los grupos aritméticos .
Bueno, espero haberte dado suficiente lectura durante algún tiempo.
RWL01
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Una de las conexiones más importantes de los dos campos se encuentra en la teoría de los sistemas dinámicos hamiltonianos, siendo los grupos de Lie los grupos de simetría. La interacción de ambos da lugar a muchos conceptos y resultados interesantes (incluida, entre otras cosas, la clásica matriz R). Para empezar, puede consultar los libros Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales por Olver y Sistemas integrables de mecánica clásica y álgebras de Lie de Perelomov, y el documento de encuesta Sistemas integrables y problemas de factorización por Semenov-Tian-Shansky.
