Conjetura de Mumford: ¿Razones heurísticas? ¿Generalizaciones? ... ¿Enfoques de geometría algebraica?

Question

La conjetura de Mumford afirma que para cada número entero $n$ tenemos: el mapa $\mathbb{Q}[x_1,x_2,\dots] \to H^\ast(M_g ; \mathbb{Q})$ enviando $x_i$ a la clase kappa $\kappa_i$ es un isomorfismo en grados menores que $n$ para un tamaño suficientemente grande $g$ . Aquí $M_g$ denota los módulos de género $g$ curvas, y el grado de $x_i$ es el grado de la clase kappa $\kappa_i$ . Esta conjetura fue demostrada por Madsen-Weiss hace unos años.

1. ¿Cuáles son las razones heurísticas o morales de la conjetura? (EDIT: Me interesan especialmente las razones geométricas algebraicas, si las hay. Aunque las razones topológicas algebraicas también son muy bienvenidas). ¿Qué llevó a Mumford a formular la conjetura en primer lugar?

2. Sé muy poco sobre la prueba de Madsen-Weiss, pero sé que utiliza principalmente métodos de topología algebraica. ¿Hay alguna aproximación a la conjetura que sea más algebraica-geométrica?

3. ¿Existe algún teorema o conjetura análoga respecto a la $K$ -teoría de $M_g$ ? O el anillo Chow de $M_g$ etc.

Answer 1

Todas las pruebas actuales de la conjetura de Mumford demuestran de hecho un resultado mucho más fuerte, la "conjetura fuerte de Mumford", formulada por primera vez por Ib Madsen. En ella se dice lo siguiente (donde por "espacio de moduli" en lo que sigue se entiende un tipo de homotopía que clasifica clases de concordancia de haces de superficie con quizás alguna estructura extra): existe un espacio de moduli estable $$\mathcal{M}_\infty := \mathrm{colim} \,\, \mathcal{M}_{g, 1}$$ donde $\mathcal{M}_{g, 1}$ denota el espacio de moduli de género $g$ superficies con una sola componente de frontera, y el colímite se forma pegando en un toro con una sola componente de frontera utilizando el producto "par de pantalones".

También hay un espacio, normalmente llamado $\Omega^\infty MTSO(2)$ que clasifica las clases de cobordismo de los "haces superficiales formales": es decir, las inmersiones de codimensión -2 con una orientación del haz tangente vertical (estable). Como un haz de superficie es un haz de superficie formal, existe un mapa $$\alpha: \mathcal{M}_\infty \to \Omega^\infty MTSO(2).$$ La conjetura fuerte de Mumford dice que se trata de una equivalencia de homología integral. Para que conste, actualmente se conocen cuatro pruebas distintas, debidas a:

1. El espacio de moduli estable de las superficies de Riemann: La conjetura de Mumford , Madsen y Weiss,
2. El tipo de homotopía de la categoría de cobordismo , Galatius, Madsen, Tillmann y Weiss,
3. Monoides de los espacios de moduli de las variedades Galatius y yo,
4. Madsen-Weiss para topólogos con mentalidad geométrica Eliashberg, Galatius y Mishachev.

Para la parte 1) de su pregunta, desde este punto de vista (no sé lo que Mumford tenía en mente): el mapa $\alpha$ puede considerarse comparable al mapa que compara las secciones holonómicas con las secciones formales en el enunciado de Gromov $h$ -para una gavilla. La idea es entonces que, dado un "haz de superficie formal", uno puede empezar a mejorarlo para que se parezca cada vez más a un haz, pero en este proceso uno no puede controlar realmente el género de las fibras con las que acaba. Por eso se obtiene el espacio de moduli de género infinito. Este es más o menos el enfoque para demostrar la conjetura que adoptan Eliashberg, Galatius y Mishachev. Los otros enfoques son menos directos y utilizan una maquinaria topológica más algebraica.

Entonces, para la parte 3) de su pregunta: el mapa $\alpha$ es también una equivalencia en cualquier otra teoría de (co)homología (por la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch, por ejemplo). Así, la teoría K topológica de $\mathcal{M}_\infty$ es "conocida" en el sentido de que es la teoría K del espacio de bucle infinito de un espectro bien entendido, que encaja en varias secuencias de cofibración simples, etc. Por otro lado, es "no conocida" en el sentido de que no creo que nadie sepa qué $K^0(\mathcal{M}_\infty)$ es como un grupo, aunque una vez intenté calcularlo sin éxito. Por otro lado, incluso conociendo este grupo, no necesariamente te dice nada sobre lo que realmente te interesa, $K^0(\mathcal{M}_g)$ porque la estabilidad para la homología ordinaria no implica estabilidad en las teorías de (co)homología no conectiva.

Answer 2

Otros, más expertos que yo, sin duda opinarán en breve, pero empezaré por la 2: creo que en la actualidad una lo hace definitivamente no tener una aproximación a algo como la conjetura de Mumford, o incluso la estabilidad de Harer, "dentro" de la geometría algebraica. Por ejemplo, no creo que se sepa cómo demostrar nada sobre la cohomología estable de M_g en la característica p sin apelar a la característica 0 y utilizar la topología.

Aunque a este respecto véase el (en algunos aspectos controvertido) obra de Boggi para una configuración puramente algebro-geométrica destinada a analogar a Harer.

Actualización: OA pidió más información sobre por qué era difícil demostrar el teorema de Mumford dentro de la geometría algebraica. Aquí está al menos parte de la respuesta. En realidad, el teorema de Mumford tiene dos partes. Por un lado, hay que entender qué es el "espacio de moduli de las curvas de género infinito", es decir, hay que entender el límite dado en la respuesta de Oscar Randall-Williams. Por otro lado, el conocimiento de este límite por sí solo no te dice que la cohomología de las M_g individuales se comporta. Ciertamente se puede, por ejemplo, tener una secuencia de grupos abelianos cuyo límite directo sea 0 aunque ninguno de los grupos desaparezca. El teorema de Harer garantiza que, para cada M_g, la cohomología de M_g coincide con la de M_infty en un rango de grados lineal en g. Y para el teorema de Harer se necesita realmente que el complejo de curvas en la superficie de género-g sea contraíble en un rango de grados lineal-en-g. Pero ahora estamos hablando de un objeto topológico que, hasta donde yo sé, no tiene realmente ninguna manifestación en la geometría algebraica.

Answer 3

He aquí una respuesta tardía y quizá demasiado ingenua para su primera pregunta, es decir, una razón heurística de por qué creer en la conjetura de Mumford.

Se puede pensar en clases de cohomología en $M_g$ como clases características para familias de curvas. Es decir, una clase es lo mismo que una regla tal que siempre que se da una familia suave de curvas $X \to B$ del género $g$ esta regla asocia una clase de cohomología en $H^\bullet(B)$ de una manera functoria. (Topológicamente, también se puede pensar en ella como una clase característica de haces de superficies orientadas de género $g$ , ya que $\mathrm{MCG}(\Sigma_g) \simeq \mathrm{Diff}^+(\Sigma_g)$ .)

De manera similar, se podría pensar en una clase de cohomología sobre $M_\infty$ como una regla que asigna una clase de cohomología a una familia de curvas de arbitrario género, o como una clase característica de arbitrario haces de superficie orientados. Por supuesto, esto debería precisarse, ya que la "functorialidad" de una clase característica de este tipo parece carecer de sentido sin ninguna forma de comparar haces de superficie de distinto género, por lo que hay que definir mapas de comparación entre distintos espacios de moduli trabajando con componentes de frontera, pegando en tori/pants, etc. No obstante, la imagen intuitiva es clara: una clase en $M_\infty$ debe ser una regla que asigne de manera uniforme, a cualquier familia de curvas $X \to B$ en cualquier caso, una clase de cohomología en $H^\bullet(B)$ .

Ahora el $\kappa$ las clases parecen encajar para ser clases sobre $M_\infty$ Dado cualquier $\pi \colon X \to B$ En cualquier caso, podemos formar el haz tangente vertical, tomar su clase de Euler, multiplicar, empujar hacia adelante. Esto parece lo más canónico que se puede esperar. ¿Hay otros? Bueno, están las $\lambda$ -es decir, las clases de Chern de $\pi_\ast \Omega_{X/B}^1$ pero Mumford demostró a través de Grothendieck-Riemann-Roch que estos son polinomios en el $\kappa$ 's. Es difícil pensar en otra cosa.

Ahora la subjetividad de $\mathbf Q[\kappa_1,\kappa_2,\ldots] \to H^\bullet(M_\infty)$ afirma que estas clases obvias son realmente los únicos que se pueden escribir de manera uniforme, y la inyectividad dice que no hay relaciones uniformes entre los $\kappa$ (es decir, todas las relaciones son "accidentes de bajo género"). Ahora bien, uno podría creer en la conjetura de Mumford simplemente porque la gente pensó mucho en estas cosas y no pudo encontrar ninguna otra clase característica invariante de género, ni ninguna relación invariante de género entre las $\kappa$ 's. La conjetura de Mumford es la explicación más sencilla de este fracaso.