¿Son elípticas la mayoría de las curvas planas cúbicas sobre los racionales?

Question

%Esta es una nueva versión de la pregunta original modificada a la luz de las respuestas y comentarios.

La palabra "la mayoría" del título es ambigua. Lo siguiente es una forma de precisarlo.

Pregunta 1: (Parece que está abierta. Véase la respuesta de Poonen más abajo)

Una curva cúbica proyectiva sobre $\mathbb{Q}$ está dada por diez enteros relativamente primos (los coeficientes de su ecuación después de despejar los denominadores). Supongamos que tomamos una caja de diez dimensiones $[-N,N]^{10}$ y elegir puntos con coordenadas enteras respecto a la medida uniforme y formar la ecuación de la curva cúbica asociada. Supongamos que el número de puntos que dan lugar a una curva con un punto racional es $E(N)$ . Entonces, ¿qué podemos decir sobre $E(N)/(2N+1)^{10}$ como $N\rightarrow \infty$ ?

¿Debe existir el límite y, si es así, debe ser uno, cero o algún otro número?

Otra cuestión de interés es:

Pregunta 2: (Hay una respuesta satisfactoria para esto. Ver la respuesta de Voloch más abajo).

¿Son cualquiera de los conjuntos {cúbicos sin punto racional} y {cúbicos con al menos un punto racional} densos de Zariski?

Answer 1

Su pregunta (como se explica en el segundo párrafo) no es para nada vaga. De hecho, aparece por ejemplo después de la conjetura 2.2 en http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/random.pdf que es Ecuaciones diofantinas aleatorias, B. Poonen y J. F. Voloch, pp. 175-184 en Aritmética de variedades algebraicas de dimensión superior B. Poonen y Yu. Tschinkel (eds.), Progress in Math. 226 (2004), Birkhäuser.

La respuesta no se conoce, y los expertos con los que he hablado ni siquiera tienen una heurística convincente que prediga una respuesta. Swinnerton-Dyer me dijo que tenía la corazonada de que la respuesta era 0, y esta es mi corazonada también, pero tenemos poco para respaldar esto.

Ni siquiera está claro que el límite exista. Se puede demostrar, sin embargo, que la densidad (en su sentido preciso) de las curvas cúbicas planas que tienen puntos sobre $\mathbb{Q}_p$ para todos $p \le \infty$ es un número estrictamente entre $0$ y $1$ (Teorema 3.6 del artículo de Poonen-Voloch), por lo que el lim sup de la fracción de curvas cúbicas planas con un punto racional es como mucho esto; en particular, no es 1.

Se podría intentar estimar el tamaño del grupo Tate-Shafarevich de una curva elíptica "aleatoria", para tener una idea de la frecuencia con la que la solvencia local implica la solvencia global, pero incluso si se hace esto no está claro que esto sea contar curvas de la misma manera.

Answer 2

Manjul Bhargava respondió ayer a esta pregunta:

Una proporción positiva de cúbicos planos no cumple el principio de Hasse

Manjul Bhargava (Enviado el 5 de febrero de 2014)

Cuando todas las formas cúbicas ternarias sobre $\mathbf{Z}$ están ordenados por las alturas de sus coeficientes, mostramos que una proporción positiva de ellos falla el principio de Hasse, es decir, tienen un cero sobre cada terminación de $\mathbf{Q}$ pero ningún cero sobre $\mathbf{Q}$ . También demostramos que una proporción positiva de todas las formas cúbicas ternarias sobre $\mathbf{Z}$ satisfacen de forma no trivial el principio de Hasse, es decir, poseen un cero sobre cada terminación de $\mathbf{Q}$ y también poseen un cero sobre $\mathbf{Q}$ . Se demuestran resultados análogos para otros modelos de género uno, es decir, para ecuaciones de la forma $z^2=f(x,y)$ donde $f$ es una forma cuártica binaria sobre $\mathbf{Z}$ y para las intersecciones de pares de cuádricas en $\mathbf{P}_3$ .

Answer 3

Re: La densidad de Zariski. Dejemos que $Y$ sea el conjunto de cúbicos con un punto racional y $N$ el conjunto de cúbicos sin punto racional, ambos vistos como subconjuntos de $P^9$ . Afirmo que ambos $Y$ y $N$ son densos Zariski. Para $Y$ Si se fija un punto en el plano, el conjunto de cúbicos que contiene ese punto es un hiperplano en $P^9$ por lo que el cierre de Zariski de $Y$ contiene infinitos hiperplanos y por lo tanto es el conjunto de $P^9$ . Para $N$ , utilizamos el ejemplo de Bjorn. Cualquier curva congruente módulo 8 a $x^3+2y^3+4z^3=0$ está en $N$ y este conjunto de curvas ya es denso de Zariski.

Answer 4

"Se podría intentar estimar el tamaño del grupo Tate-Shafarevich de una curva elíptica "aleatoria", para tener una idea de la frecuencia con la que la solvencia local implica la solvencia global, pero incluso si se hace esto no está claro que esto sea contar curvas de la misma manera."

Bhargava ha demostrado que el grupo 3-Selmer tiene un tamaño medio de 4. La suposición de un rango mínimo (1/2 de media) y la conjetura de la paridad darían cuenta de que 2 de los 4 provienen del rango, y 2 de los 4 provienen de Sha, así que el 50%. Su recuento es por $|c_4| < X^2$ y $|c_6| < X^3$ Creo. Los trabajadores en el descenso de 3 tienen algunos límites que relacionan los invariantes con el tamaño del coeficiente.