Esto forma parte de la dinámica topológica (un primo cercano de la teoría ergódica, también conocida como dinámica medible, en la que el espacio subyacente en el que tiene lugar la dinámica es un espacio topológico en lugar de un espacio de medidas). La relación con la combinatoria es, a grandes rasgos, la siguiente: la dinámica topológica es a los teoremas de Ramsey de coloración (como el de van der Waerden) lo que la dinámica medible es a los teoremas de Ramsey de densidad (como el de Szemeredi).
Para simplificar, vamos a trabajar con los números enteros (hay un truco para tratar luego los números naturales, del que hablaré más adelante).
Considere el cubo $\Omega := \{-1,+1\}^{{\bf Z}}$ con el desplazamiento estándar a la derecha T. Damos a este cubo la topología de producto, convirtiéndolo en un espacio compacto metrizable. Cada secuencia +-1 es entonces un punto x en $\Omega$ y define una órbita $T^{\bf Z} x = \{ T^n x: n \in {\bf Z} \}$ y luego un cierre de órbita $\overline{T^{\bf Z} x}$ . Se trata de un subconjunto cerrado e invariable en T de $\Omega$ (que un dinamicista topológico llamaría subsistema de $\Omega$ ).
Obsérvese que si y aparece en este cierre de órbita, entonces toda subcadena finita de y aparece en algún lugar de x. Así que es natural tratar de buscar lo que está en este cierre de órbita.
Una simple aplicación del lema de Zorn nos dice que todo cierre de órbita contiene al menos una mínimo subconjunto cerrado no vacío de T-invariante; estos se conocen como sistemas mínimos . (La noción de minimalidad en la dinámica topológica es, en líneas generales, equivalente a la noción de ergodicidad en la teoría ergódica). Cada elemento de un sistema mínimo es casi periódico , lo que significa que cada bloque finito del elemento aparece de forma sindeada (con huecos acotados). Así que siempre se puede obtener un elemento casi periódico (este es un caso especial de la Teorema de recurrencia de Birkhoff ).
Todo esto se discute en estos notas de conferencias mías .
Ahora bien, se puede ir más allá de la minimalidad y obtener una mayor clasificación de tales sistemas, y el tema se vuelve bastante interesante en este punto. Por ejemplo, tenemos sistemas isométricos (análogo al sistemas compactos en teoría ergódica), con la propiedad de que si dos puntos $x,y$ en el sistema están cerca, entonces todos sus turnos $T^n x, T^n y$ son uniformemente cercanos también. Los cierres de órbita de las secuencias cuasiperiódicas entran en esta categoría. En el otro extremo, tenemos sistemas de mezcla topológica (análogo al sistemas de mezcla en teoría ergódica), en la que dados dos conjuntos abiertos no vacíos U, V en el sistema, el desplazamiento $T^n U$ de una de ellas intersectará a la otra V para todo n suficientemente grande. Los cierres de órbita de las secuencias aleatorias (es decir, todos los $\Omega$ ) entran en esta categoría. Luego hay varios sistemas intermedios entre estos, por ejemplo uno puede tomar extensiones isométricas de sistemas isométricos (análogo a cosas como los sistemas nil en la teoría ergódica), y así sucesivamente. Todo esto se discute en cierta medida en estos apuntes míos de conferencias posteriores .
Si se trabaja con los números naturales y no con los enteros, entonces puede parecer a primera vista que el desplazamiento T ahora no es invertible, pero no es difícil convertir la situación de los números naturales a la situación de los enteros, comenzando con una secuencia x en los enteros y observando el conjunto de cadenas en los enteros con la propiedad de que cada subcadena finita de esos enteros aparece infinitamente a menudo en la secuencia original. Se trata de un subconjunto cerrado T-invariante de $\Omega$ un simple argumento de compacidad muestra que no es vacío. Así que básicamente se puede reducir a subsistemas de $\Omega$ como antes.
Por último, debo mencionar que existe una aproximación a este tema a través de los ultrafiltros. Dado cualquier ultrafiltro no principal $p \in {\Bbb Z}$ se puede tomar el ultrashift $T^p x$ de una secuencia $x$ definido como el ultralímite de los desplazamientos $T^n x$ a lo largo del ultrafiltro p (esto está bien definido porque $\Omega$ es compacta y metrizable). Se puede entonces reducir una parte importante de la dinámica topológica a las propiedades algebraicas de los ultrafiltros. Por ejemplo, el teorema de Hindman es una consecuencia rápida de la existencia de un ultrafiltro idempotente. Esto se discute en la primera serie de notas anteriores, y también en su secuela .