$\operatorname{rank}AB\leq \operatorname{rank}A, \operatorname{rank}B$

Question

Demostrar que si $A,B$ son cualesquiera matrices tales que $AB$ existe, entonces $\operatorname{rank}AB \leq \operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B$ .

Me encontré con este ejercicio mientras hacía problemas en mi libro de texto, pero no estoy seguro de dónde empezar para la prueba de esto. Creo que el espacio de las columnas podría estar involucrado en la prueba, aunque no estoy seguro.

Answer 1

Creo que es mejor probar dos cosas que son afirmaciones más fuertes:

$x\in \ker B \Rightarrow x\in \ker AB$ ,

$y\in \text{im}\;AB \Rightarrow y\in \text{im}\;A$ .

Junto con el teorema de la nulidad del rango, creo que esto proporciona una solución que no está en el enlace que @Amzoti proporcionó anteriormente. Editar- no importa, está ahí, pero no todo en un solo lugar.