(Mi $\Bbb N$ es su $\Bbb Z_{\ge 0}$ .) Supongamos que $\left\langle a^{(k)}:k\in\Bbb N\right\rangle$ es una secuencia en $\Bbb N^n$ tal que $a^{(k+1)}<_g a^{(k)}$ para cada $k\in\Bbb N$ donde el subíndice $g$ denota el orden grevlex. Sea $a^{(k)}=\left\langle a_1^{(k)},\ldots,a_n^{(k)}\right\rangle$ para cada $k\in\Bbb N$ . Para $a=\langle a_1,\ldots,a_n\rangle\in\Bbb N^n$ dejar $\deg a=a_1+\ldots+a_n$ . Entonces $\left\langle\deg a^{(k)}:k\in\Bbb N\right\rangle$ es una secuencia no creciente de enteros no negativos, por lo que debe ser eventualmente constante: hay $k_0,m\in\Bbb N$ tal que $\deg a^{(k)}=m$ para todos $k\ge k_0$ . Sin pérdida de generalidad, también podemos suponer que $k_0=0$ y sólo mirar la cola de la secuencia, ya que todo lo que queremos mostrar es que la secuencia realmente tiene que ser finita.
Ahora para $k\ge 1$ dejar $\ell(k)$ sea el mayor subíndice tal que $a_{\ell(k)}^{(k)}\ne a_{\ell(k)}^{(0)}$ no es difícil comprobar que la secuencia $\langle\ell(k):k\ge 1\rangle$ es no decreciente, por lo que hay $k_1\in\Bbb Z^+$ y $\ell\in\{1,\ldots,n\}$ tal que $\ell(k)=\ell$ para todos $k\ge k_1$ . Una vez más, no hay nada malo en suponer que $k_1=1$ para que $\ell(k)=\ell$ para todos $k\ge 1$ .
Esto significa que la secuencia $\left\langle a_\ell^{(k)}:k\in\Bbb N\right\rangle$ es estrictamente creciente. Pero $\deg a^{(k)}=m$ para todos $k\in\Bbb N$ y $$\sum_{i=\ell+1}^na_i^{(k)}=\sum_{i=\ell+1}^na_i^{(0)}$$ para todos $k\in\Bbb N$ Así que
$$\left\langle\sum_{i=1}^{\ell-1}a_i^{(k)}:k\in\Bbb N\right\rangle\tag{1}$$
debe ser estrictamente decreciente. Pero esto es imposible, ya que $(1)$ es una secuencia de enteros no negativos. Por lo tanto, $\langle\Bbb N^n,\le_g\rangle$ no tiene una secuencia infinita estrictamente decreciente.
La idea clave aquí es que si se mantiene fijo el grado de un monomio en $n$ indeterminados, sólo hay un número finito de combinaciones posibles de exponentes.
