Convergencia débil de las distribuciones

Question

Dejemos que $X_1,X_2,...$ y $Y_1,Y_2,...$ sean dos secuencias de variables aleatorias tales que $\mathcal{L}(X_n)\xrightarrow{w}\mathcal{L}(X)$ y $|Y_n-X_n|\xrightarrow{w}0$ como $n\rightarrow\infty$ Demuestra que $$\mathcal{L}(Y_n)\xrightarrow{w}\mathcal{L}(X)$$ como $n\rightarrow\infty$ .

Tengo el siguiente intento:

Sé que la convergencia en probabilidad implica la convergencia débil o en distribución, entonces dado $\epsilon>0$ Puedo decirlo:

$$|Y_n-X_n|<\epsilon$$

También desde $\mathcal{L}(X_n)\xrightarrow{w}\mathcal{L}(X)$ Puedo decir que $Ef(X_n)\rightarrow Ef(X)$ para una función Lipschitz acotada utilizando el teorema de Portamnteau.

No sé cómo utilizar estos hechos para concluir.

Answer 1

El teorema de Portmanteau funciona aquí. Sea $f$ sea acotado y Lipschitz, por lo que existe $B>0$ tal que $|f(x)|\le B$ para todos $x$ y existe $K>0$ tal que $|f(y)-f(x)|\le K|y-x|$ para todos $y$ y $x$ .

Para demostrar que $Ef(Y_n)\to Ef(X)$ , comienza con la desigualdad del triángulo: $$|Ef(Y_n)-Ef(X)|\le E|f(Y_n)-f(X_n)|+|Ef(X_n)-Ef(X)|\tag1$$ El segundo término del lado derecho de (1) tiende a cero, ya que $X_n$ converge débilmente a $X$ . Para demostrar que el primer término tiende a $0$ , elige $\epsilon>0$ y romper la expectativa $E|f(Y_n)-f(X_n)|$ según los casos $|Y_n-X_n|>\epsilon$ y $|Y_n-X_n|\le\epsilon$ . En el primer caso, utilice el hecho de que $f$ está limitado a ver $$E\left[|f(Y_n)-f(X_n)|I(|Y_n-X_n|>\epsilon)\right]\le 2B\,P(|Y_n-X_n|>\epsilon),\tag2$$ que tiende a cero porque $Y_n-X_n$ converge en probabilidad a cero. En el segundo caso se utiliza el hecho de que $f$ es Lipschitz: $$E\left[|f(Y_n)-f(X_n)|I(|Y_n-X_n|\le\epsilon)\right]\le E K|Y_n-X_n|I(|Y_n-X_n|\le\epsilon)\le K\epsilon.\tag3$$ Pero $\epsilon$ es arbitrariamente positivo, por lo que el resultado se deduce.