¿Introducción a la teoría de la deformación (de las álgebras)?

Question

Sé que la idea de la teoría de la deformación subyace en el concepto de grupos cuánticos; no he encontrado ninguna introducción a los grupos cuánticos que me haga sentir plenamente satisfecho de tener algún tipo de idea de lo que se trata, pero juntando lo que he leído, entiendo que la idea es "deformar" un álgebra de grupo (Hopf) a una que no sea tan bonita pero que siga siendo muy viable.

Hasta cierto punto, entiendo lo que implica la "deformación"; la idea es tomar algunas relaciones que definen nuestra álgebra de Hopf e introducir un nuevo parámetro, que se especializa al caso clásico en cierto punto. Lo que no entiendo es:

1. Cómo y cuándo podemos hacerlo y que siga teniendo sentido;

2. Por qué debería ser "obviamente" una construcción que merezca la pena, y por qué debería ser útil y significativa.

El problema es que cuando busco material (en el catálogo de la biblioteca, en Internet) sobre la teoría de la deformación, todo lo que aparece es muy técnico y supone cierta familiaridad con las definiciones e intuiciones básicas sobre el tema. ¿Alguien conoce una introducción más básica que pueda ser entendida por el "público matemático general" y que responda a (1) y (2)?

Answer 1

[Gerstenhaber, Murray; Schack, Samuel D. Algebraic cohomology and deformation theory. Deformation theory of algebras and structures and applications (Il Ciocco, 1986), 11-264, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., 247, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1988. MR0981619 (90c:16016)] es una buena introducción al tema. Los trabajos de Gerstenhaber (la serie denominada Sobre la deformación de anillos y álgebras ) es extremadamente legible.

En cuanto a por qué hay que esperar que la deformación produzca algo interesante... Una vez le pregunté esto a Jacques Alev, y observó que el interés de las cosas realmente interesantes debería sobrevivir a pequeñas deformaciones.

Answer 2

Citando la primera línea de este documento de Barry Mazur (archivo PDF):

Se puede aprender mucho sobre un objeto matemático estudiando cómo se comporta ante pequeñas perturbaciones.

Answer 3

En respuesta a su último párrafo, un buen punto de partida para la teoría de la deformación, no específicamente de los grupos cuánticos, es la teoría de la deformación de primer orden de las álgebras asociativas. Han mencionado buenas referencias para esto Mariano (los papeles de Gerstenhaber) y Kevin Lin (los apuntes de Kontsevich), pero quería añadir que antes de abrirlos, hay algunos ejercicios agradablemente sencillos que puedes hacer para hacerte una idea del tema. Intenta extender un asociativo $k$ -producto lineal en $A$ a un $t$ -lineal sobre $A\otimes (k[t]/t^2)$ y verás que lo que necesitas es un cociclo de Hochschild 2 (definición en los libros de álgebra homológica, por ejemplo de Weibel); y que las extensiones que se vuelven triviales tras un cambio de variable son los cociclos. Si se insiste en los productos unitales, se obtendrán cociclos para el complejo de Hochschild reducido; si se impone la conmutatividad, se verán cociclos de Harrison.

Una referencia más: un documento de Goldman-Millson (el enlace requiere una suscripción a MR) que explica de forma amena la filosofía de la DGLA de la teoría de la deformación cero del carbón.

Answer 4

Puedes probar La insoportable ligereza de la teoría de la deformación por Balázs Szendrői.

Answer 5

Me gusta " Por qué las deformaciones son cohomológicas " por M Anel