Leí que si $X_1, X_2$ son 2 variables aleatorias con exceso de curtosis diferente, su distribución conjunta no puede ser elíptica. ¿Existe alguna intuición o prueba de eso? No está muy claro para mí.
En mi opinión, la mejor intuición es la siguiente. Las distribuciones elípticas lidian con algunos hechos estilizados en los rendimientos financieros, como: colas gruesas y dependencia de cola. Sin embargo, en el caso multivariado, hay una restricción sobre la forma de las marginales. Especialmente sobre la densidad de las colas.
El ejemplo más útil en mi opinión es la distribución t-Student: https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_t_de_Student_multivariante
Dados el vector de ubicación $\mu$ y la matriz de escala $\Sigma$ nos enfocamos en el índice de cola $v$ (número real positivo). Ahora, el punto es que la ubicación y la escala son libres pero el índice de cola debe ser común a cualquier marginal.
Entonces, bajo la hipótesis de que $v>4$, el exceso de curtosis es $6/(v-4)$ para cualquier marginal. Condiciones similares se aplican a todas las distribuciones elípticas.
Además, me parece que a partir de este ejemplo queda claro que el uso generalizado de la curtosis para abordar el problema de las colas gruesas no es una buena práctica. De hecho, precisamente a partir de las colas gruesas, la existencia de momentos de cuarto orden es cuestionable y la inestabilidad de su estimador está relacionada. Enfocarse en algo como el índice de cola es mucho mejor.
Este artículo brinda información sobre la distribución Elíptica: https://www.researchgate.net/publication/237633988_Tail_Conditional_Expectations_for_Elliptical_Distributions
