Series de Puiseux sobre un campo no algebraicamente cerrado.

Question

Supongamos que $K$ es un campo de característica $0$ y $L/K$ es una extensión para que cada grado $\leq n$ polinomio sobre $K$ se divide en $L$ . No suponemos que $L$ es algebraicamente cerrado.

Es un hecho clásico que el cierre algebraico de $K[[t]]$ es $K[[t^{1/n} : n \geq 1]]$ cuando $K$ es algebraicamente cerrado . En nuestra configuración, ¿es cierto que cada grado $n$ polinomio sobre $K[[t]]$ se separa completamente $L[[t^{1/n!}]]$ ?

Creo que la prueba clásica de las expansiones de Newton-Puiseux se puede modificar para demostrar esto, pero me alegraría mucho si hubiera una referencia.

Answer 1

Gracias a esto pregunta He encontrado una prueba que puede ser fácilmente modificada para mostrar lo que quiero.

Utilizaremos una forma del lema de Hensel que dice que si tenemos un polinomio $f$ en $K[[t]]$ que se divide en $f = gh$ en $t = 0$ con $\gcd(g,h) = 1$ entonces podemos encontrar una elevación de la división a $K[[t]]$ .

Ahora supongamos que tenemos un polinomio $f(x)$ de grado $d \leq n$ en $K[[t]]$ . Demostramos que tiene una factorización no trivial sobre $L[[t]]$ . En primer lugar, hacemos un cambio lineal de variables para que: $$f(x) = x^d + a_2(t)x^{d-1} + \dots + a_0$$ y luego definir: $$g(x) = t^{-d\delta}f(xt^{\delta}) = x^d + b_2(t)x^{d-1} + \dots + b_0$$ donde elegimos $\delta = \mathrm{val}_t(a_i(t)/i)$ para que el $b_i(t)$ tienen un efecto positivo $t$ -y no son todos nulos en el módulo $t^{1/n!}$ . (Este paso es la razón por la que necesitamos adjuntar $t^{1/n!}$ ).

Entonces, vemos que $g(x) \pmod{t^{1/n!}}$ es de la forma $x^d + c_2x^{d-2} + \dots + c_0$ en $L$ con el $c_i \in K$ y no todos ellos $0$ . Desde el $x^{d-2}$ El término es $0$ y uno de los otros términos no lo es, vemos que $g(x) \pmod{t^{1/n!}}$ no es de la forma $(x-\gamma)^d$ por lo que se factoriza en dos factores no triviales y coprimas sobre $L$ . (Aquí es donde utilizamos el hecho de que cada grado $\leq n$ polinomio sobre $K$ se divide en $L$ ).

Por el lema de Hensel, ahora podemos elevar nuestra factorización a $L[[t]]$ .