El grupo Weil aparece por varias razones.
En primer lugar: si $K$ es un campo local no arquimédico con campo de residuos $k$ , la ley de reciprocidad local induce una incrustación $K^{\times} \hookrightarrow G_K^{ab}.$ La imagen se compone de todos los elementos en $G_k$ cuya imagen es una potencia integral de Frobenius. Este es el grupo abelianizado de Weil; aparece de forma natural.
Segundo: supongamos que $K$ es un campo global de característica positiva, es decir, el campo de funciones de una curva sobre un campo finito $k$ . Entonces el mapa de reciprocidad global identifica el grupo de clases de ídolos de $K$ con un subgrupo de $G_K^{ab}$ compuesto por elementos que actúan sobre $k$ por potencias integrales de Frobenius. Así que, de nuevo, es el grupo abelianizado de Weil el que aparece.
Tercero: supongamos que $E$ es una curva elíptica sobre un imaginario cuadrático cuadrático $K$ con multiplicación compleja por $\mathcal O$ el anillo de enteros en $K$ . (Así estoy fijando implícitamente $K$ a tener la clase número uno, pero esto no es tan importante para lo que voy a decir a continuación). Si $\ell$ es un primo, entonces el $\ell$ -es un módulo de Tate libre de rango uno sobre $\mathcal O_{\ell}$ (el $\ell$ -Cumplimiento de los requisitos de $\mathcal O$ ), y el $G_K$ -acción en este módulo Tate induce un carácter $\psi_{\ell}:G_K^{ab} \rightarrow \mathcal O_{\ell}^{\times}$ .
Hay un sentido en el que los distintos $\psi_{\ell}$ son independientes de $\ell$ , pero ¿cuál es ese sentido?
Bien, supongamos que $\wp$ es un primo de $K$ , sin dividir $\ell$ y en el que $E$ tiene una buena reducción. Entonces el valor de $\psi_{\ell}$ en $Frob_{\wp}$ es independiente de $\ell$ en el sentido de que su valor es un elemento de $\mathcal O$ y este valor es independiente de $\ell$ . En general, siempre que $\wp$ es primordial para $\ell$ , la restricción de $\psi_{\ell}$ al grupo local de Weil en $\wp$ es independiente de $\ell$ (en el sentido de que el valor en una elevación de Frobenius será un entero algebraico que es independiente de $\ell$ y su restricción a la inercia en $\wp$ será una imagen finita definida sobre números enteros algebraicos, que a su vez es independiente de $\ell$ ).
Tenga en cuenta que la independencia de $\ell$ no tiene sentido para $\psi_{\ell}$ en el grupo de Galois local completo en $\wp$ ya que en todo este grupo se ciertamente tomará valores que no son algebraicos, sino más bien sólo algunos $\ell$ -adic enteros, que no pueden ser comparados entre sí como $\ell$ cambios.
Ahora bien, también hay un sentido en el que el $\psi_\ell$ como caracteres globales de Galois, son independientes de $\ell$ . De hecho, podemos pegar las diversas representaciones locales del grupo de Weil para obtener una representación $\psi$ del global Weil grupo $W_K$ . Como es abeliano, esto será sólo un carácter de clase de ídem $\psi$ , o lo que también se llama carácter de Hecke o carácter de Grossen. Tomará valores en números complejos. (En los lugares finitos incluso toma valores de números algebraicos, pero cuando organizamos las cosas adecuadamente en los lugares infinitos, nos vemos obligados a pensar en ello como de valor complejo).
Tenga en cuenta que $\psi$ no será un factor a través del grupo de componentes conectados, es decir, no será un carácter de $G_K^{ab}$ . No es un carácter de Galois, sino un carácter de grupo de Weil. Almacena en un objeto la información contenida en toda una colección de $\ell$ -de Galois, y da un sentido preciso a la idea de que estos diversos $\ell$ -los caracteres adicos son independientes de $\ell$ .
Esta es una importante función general de los grupos de Weil.
En cuarto lugar: El carácter de Hecke $\psi$ anterior será un carácter algebraico de Hecke, es decir en los lugares infinitos, implicará la elevación a potencias integrales. Pero también podemos elevar números reales a una potencia compleja arbitraria $s$ y por lo tanto hay caracteres de Hecke que no provienen de la construcción anterior (o de otras similares); en otras palabras hay caracteres de Hecke no algebraicos, o no motivados. Pero son caracteres abelianos del grupo global de Weil, y tienen un significado; la variable $s$ al que podemos elevar números reales es la misma variable $s$ como aparece en $\zeta$ - o $L$ -funciones.
En resumen: Como los grupos de Weil son "menos completos", o "menos profinitos", que los de Galois juegan un papel importante en la descripción de cómo un sistema de $\ell$ -Las representaciones de los ádicos pueden ser independientes de $\ell$ . Además, permiten describir fenómenos que son automórficos, pero no motivacionales (es decir, que corresponden a valores no integrales valores de la $L$ -variable de función $s$ ). (No describen todos los fenómenos automórficos, sin embargo, se necesitaría todo el grupo de Langlands para ello).
