El paso clave en la demostración de Kontsevich de la cuantificación de la deformación de las variedades de Poisson es el llamado teorema de la formalidad, donde "un complejo formal" significa que admite una determinada condición. Me pregunto por qué se llama "formal". Sólo he encontrado la definición de Sullivan en la Wikipedia 'la variedad formal es aquella cuyo tipo de homotopía real es una consecuencia formal de su anillo de cohomología real'. Pero sigo confundido porque la mayoría de los artículos que he encontrado contienen sólo la misma frase y no puedo entender el significado de 'consecuencia formal'. ¿Alguien conoce la historia de este concepto?
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Supongo que la terminología se remonta al trabajo de Sullivan y Quillen sobre la teoría racional de la homotopía. Probablemente también debería consultar el trabajo de Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan sobre la teoría de homotopía real de las variedades de Kähler. En realidad, creo que al menos una cierta familiaridad con el documento de la DGMS es un requisito previo importante para entender muchos de los documentos de Kontsevich.
No estoy totalmente seguro, pero creo que las definiciones son las siguientes:
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Un álgebra diferencial graduada $(A,d)$ se llama formal si es cuasi-isomorfa (en general, si trabajamos en la categoría de álgebras dg y no, digamos, en la categoría de álgebras A-infinitas, necesitamos un "zig-zag" de cuasi-isomorfismos) a $H^\ast(A,d)$ considerada como un álgebra dg con diferencial cero.
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Un espacio X se llama formal (sobre los racionales resp. los reales) si su álgebra dg cochain $C^\ast(X)$ (con coeficientes racionales resp. reales) con la diferencial estándar es un álgebra dg formal.
Una de las cosas de las que no estoy seguro es si en la definición debemos exigir $H^\ast(A,d)$ sea conmutativo; pero para los espacios esto no es un problema ya que $H^\ast(X)$ es siempre (gradualmente) conmutativo.
El documento DGMS demuestra que si X es una variedad compacta de Kähler, entonces el álgebra de Rham dg que consiste en (real, $C^\infty$ ) sobre X con la diferencial estándar de Rham es un álgebra dg formal.
La frase "el tipo de homotopía real (resp. racional) de X es una consecuencia formal del anillo de cohomología real (resp. racional) de X", que aparece, por ejemplo, en el documento DGMS, significa simplemente que la teoría de homotopía real (resp. racional) de X está determinada por (¿y es probablemente computable explícita y algorítmicamente a partir de? ) el anillo de cohomología de X. En otras palabras, si X e Y son formales (sobre los racionales o los reales) y tienen anillos de cohomología isomórficos (racionales o reales), entonces sus respectivas teorías de homotopía (racionales o reales) son las mismas (y son explícitamente computables, si conocemos los anillos de cohomología). Por ejemplo, los rangos de sus grupos de homotopía serán iguales.
En realidad, no estoy totalmente seguro de que lo que he dicho en el último párrafo sea cierto. Creo que es cierto cuando X e Y están simplemente conectados. No estoy seguro de lo que ocurre de forma más general.
En el contexto de la teoría racional de la homotopía, creo que el término "formal" está bien, por las razones que he explicado anteriormente. Tal vez en el contexto más general de las álgebras dg, el uso del término "formal" tenga menos sentido. Sin embargo, creo que sigue siendo razonable, por las siguientes razones. Permítanme utilizar el lenguaje más "moderno" de las álgebras A-infinitas. En general, no es cierto que un álgebra dg $(A,d)$ es cuasi-isomorfo a $H^\ast(A,d)$ considerada como un álgebra dg con diferencial cero. Sin embargo, es un hecho "estándar" (Kontsevich-Soibelman lo llaman el "lema de la perturbación homológica" (por ejemplo, está enterrado en algún lugar de este documento ), y se puede encontrar en la literatura de operadas como el "teorema de la transferencia") que se puede poner una estructura A-infinita en $H^\ast(A,d)$ que hace que $A$ y $H^\ast(A,d)$ cuasi-isomórficas como álgebras A-infinitas. La estructura A-infinita se manifiesta como una serie de $n$ -productos complementarios que satisfacen diversas compatibilidades. Al menos intuitivamente, estos $n$ -Los productos de tipo "ary" deben considerarse análogos a los productos de tipo "Massey" en topología. Así, $H^\ast(A,d)$ con esta estructura de A-infinito lleva alguna información "teórica de la homotopía". En este lenguaje, entonces, un álgebra dg $(A,d)$ es formal si es cuasi-isomorfa, como álgebra A-infinita, a $H^\ast(A,d)$ con todos los productos superiores a cero. En otras palabras, todos los "productos de Massey" desaparecen*, y por lo tanto la única información "homotópica" que queda es la que proviene de la estructura de anillo ordinaria sobre $H^\ast(A,d)$ .
*Don Stanley señala correctamente que la desaparición de los productos de Massey es más débil que la formalidad. Sin embargo, creo que la trivialidad de la estructura A-infinita es equivalente a la formalidad. En el lenguaje del artículo de la DGMS, que no utiliza el lenguaje de A-infinito, se dice que la formalidad es equivalente a la desaparición de los productos de Massey "de manera uniforme". Creo que este desvanecimiento uniforme es lo mismo que la trivialidad de la estructura de A-infinito. Del documento:
... un modelo mínimo es una consecuencia formal de su anillo de cohomología si, y sólo si, todos los productos de orden superior desaparecen de manera uniforme.
y también
[Elegir un cuasi-isomorfismo de un álgebra dg mínima a su cohomología] es una forma de decir que se pueden hacer elecciones uniformes para que las formas que representan todos los productos de Massey y los productos de Massey de orden superior sean exactas . Esto es más fuerte que requerir que cada producto individual de Massey o producto de Massey de orden superior desaparezca. Esto último significa que, dado un producto de este tipo, se pueden hacer elecciones para que la forma que lo representa sea exacta, y puede que no haya forma de hacerlo de manera uniforme.
(Perdón por la proliferación de paréntesis, y perdón por mi falta de certeza en todo esto, hace tiempo que no pienso en esto. La gente debería corregirme si me equivoco en algo de esto).
Michael Gorsuch
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Parafraseando a Groucho Marx: si no le gusta mi primera respuesta..., pues tengo otra. :-)
Aquí está: dejemos $X$ sea una variedad diferenciable simplemente conectada.
La teoría de la homotopía racional nos dice que el tipo de homotopía racional de $X$ (es decir, su tipo de homotopía módulo de torsión) está contenido en su modelo mínimo , $M_X$ que es un conmutativo álgebra diferencial graduada (cdg).
Por definición, esto significa que se tiene un cuasi-isomorfismo ( quis un morfismo de álgebras cdg que induce un isomorfismo en cohomología)
$$ M_X \longrightarrow \Omega^*(X) \ . $$
Aquí, $\Omega^* (X)$ es el álgebra de formas diferenciales de $X$ y el minimalidad de $M_X$ significa que, en un sentido determinado, pero preciso, es el álgebra cdg más pequeña para la que existe tal quis.
El hecho de que $M_X$ contiene el tipo de homotopía racional de $X$ implica, por ejemplo, que se pueden obtener los rangos de los grupos de homotopía de $X$ de ella:
rango $\pi_n(X) =$ número de generadores de grado n (como un álgebra) de $M_X$ , para $n \geq 2$ .
Bonito, ¿verdad? :-)
El problema es que el álgebra $\Omega^*(X)$ es, en general, no computable, por lo que no se puede obtener de él el modelo mínimo $M_X$ . Y aquí es donde la formalidad viene a ayudarte.
Casi por definición, $X$ es un formal espacio si existen dos quis
$$ \Omega^*(X) \longleftarrow M_X \longrightarrow H^*(X;\mathbb{Q}) $$
Por lo tanto, si $X$ es formal se puede calcular su modelo mínimo $M_X$ y, por tanto, su tipo de homotopía racional, directamente desde el álgebra de cohomología $H^*(X; \mathbb{Q})$ que es más bonito (más pequeño, más computable) que $\Omega^*(X)$ .
Y el último punto es que hay muchos ejemplos de espacios que se sabe que son formales.
(Observación final: En realidad, habría que poner $A_{PL}^*(X;\mathbb{Q})$ en lugar de $\Omega^*(X)$ para trabajar sobre los racionales, pero esto lo puedes encontrar explicado en las referencias que te hemos proporcionado).
Kevin Colby
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1444
Formal puede significar cosas ligeramente diferentes en distintos contextos.
Un álgebra diferencial conmutativa graduada (CDGA) es formal si es cuasi-isomorfa a su homología. Esto es más fuerte que tener todos los productos de Massey superiores iguales a 0 (creo que hay ejemplos de este tipo en el artículo de Halperin-Stasheff).
A un espacio se le puede asociar un CDGA (a través de Sullivan's $A_{pl}$ functor) que es básicamente el complejo deRham cuando el espacio es una variedad. En casos agradables este funtor induce una equivalencia desde la categoría de homotopía racional a la categoría de homotopía de CDGA. Los CDGA cuasi-isormórficos corresponden a espacios homotópicos (racionales) equivalentes. También se puede tensorizar con los reales para obtener CDGA reales.
Si A es un CDGA que es cuasi-isomorfo a $A_{pl}(X)$ para un espacio $X$ entonces A es a menudo se denomina modelo de X. Un espacio es formal si $A_{pl}$ de ella es formal. Así que un espacio formal es modelado por su cohomología. En ese sentido, su tipo de homotopía racional es una consecuencia formal de su cohomología.
Creo que hay que tener un poco de cuidado con el uso de $C^*$ . Este functor aterriza en álgebra diferencial graduada que no son conmutativas, por lo que posiblemente la noción de formalidad podría ser diferente. En particular, si se consideran dos CDGA puede haber más cadenas de cuasi-isomorfismos entre ellas como DGAs que como CDGAs. Creo que que no se sabe si dos CDGA que son cuasi-isomorfos como DGA tienen que ser cuasi-isomorfos como CDGA.
Michael Gorsuch
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Tal vez podría echar un vistazo a
Y. Félix, J. Oprea, D. Tanré; Algebraic models in Geometry, Oxford Graduate Text in Math. 17 (2008)
donde se habla de la formalidad en el contexto de la teoría racional de la homotopía, RHT, (por ejemplo, en las secciones 2.7 y 3.1.4). También el pequeño libro más clásico, pero excelente
D. Lehmann; Teoría homotópica de las formas diferenciales, Asterisco 45
merece la pena leerlo (sección V.9).
En cuanto a la formalidad en el contexto de las operadas, permítame un poco de autopromoción :-) :
F. Guillén, V. Navarro, P. Pascual, Agustí Roig, Moduli spaces and formal operads; Duke Math. J. 129, 2 (2005).
En este trabajo, traducimos algunos resultados clásicos relativos a la formalidad en RHT a las operadas de cadena. Por ejemplo, el teorema de Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan sobre la formalidad de las variedades de Kähler, la independencia de la formalidad del campo base... Y extenderlos también a las operadas modulares.
