Dejemos que $f$ sea una función analítica definida en el disco unitario abierto en $\mathbb{C}$ . Entonces, ¿cuál de las siguientes es verdadera?

Question

Dejemos que $f$ sea una función analítica definida en el disco unitario abierto en $\mathbb{C}$ . Entonces $f$ es constante si

$1.~~f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ para todos $n\geq1.$
$ 2. ~~f(z)=0$ para todos $|z|=1/2$
$ 3. ~~f\left(\frac{1}{n^2}\right)=0$ para todos $n\geq1.$
$ 4. ~~f(z)=0$ para todos $z\in (-1,1)$

Utilicé el teorema de la identidad y concluí que $1$ , $3$ y $4$ son verdaderas. Pero estoy confundido con $2$ . Por favor, ayúdenme con algunos consejos o ideas.

Answer 1

(Como voy a responder a una vieja pregunta sin respuesta, aquí voy a discutir todas las opciones)

Respuesta: Aquí las cuatro opciones son correctas.

Discusión: Aquí $~f~$ sea analítica definida en el disco abierto en $\mathbb C$ .
En opción $(1)$ y $(3)$ vemos que
$f\left(\dfrac 1n\right)=0~,$ y $~f\left(\dfrac 1{n^2}\right)=0~$ para todos $~n\ge 1~.$
$\implies~f~$ tiene ceros en los puntos $~z=1/n~$ y $~z=1/{n^2}~.$
Además, los puntos límite de los ceros de $~f~$ es cero y la función es analítica en cero.
Entonces, por el teorema de la identidad, la función es idénticamente cero.
Así, $~f~$ es una constante.
Así que las opciones $(1)$ y $(3)$ son correctos.

En general, los ceros de una función analítica no constante están aislados, pero en las opciones $(2)$ y $(4)$ , los ceros de la función analítica no están aislados. Esto implica que $~f~$ es constante.
Así que las opciones $(2)$ y $(4)$ son correctos.