Existe tal cosa como una matriz de funciones?

Question

¿Alguna vez ponemos a funciones como entradas de una matriz? Si es así, estas matrices que se utilizan en álgebra lineal, o si tienen algún otro uso especial?

No han sido menores, pero no necesariamente conflictos de por sí, pero los desacuerdos sobre la naturaleza de esta pregunta y así voy a añadir un poco de declaración a continuación para aclarar esto.

Yo he notado que la "función" ha sido interpretado de dos maneras, dentro de las respuestas.

1. Una real función raw como simplemente escribir "f". Dicho concepto está más allá de mi comprensión actual (a menos que yo estoy siendo estúpido de alguna manera), pero es interesante de todas formas.

2. Una llamada a una función que devuelve un valor. Esto es principalmente lo que me refería en mi post.

Uno de estos es válido. De hecho, creo que la amplitud de esta pregunta determina el hecho de que la gente lo va a interpretar de una manera diferente. En esencia, su kilometraje puede variar, y ambos son tan similares desde mi punto de vista de que todas son buenas respuestas (o buenos ejemplos si no es independiente de las respuestas).

Answer 1

Se puede definir una matriz con elementos en cualquier anillo conmutativo, ya que el único requisito es ser capaz de realizar la suma y la multiplicación con las propiedades habituales.

Usted incluso puede considerar la siguiente $2\times 2$ matrices. Tales matrices describir la endomorphisms de la suma directa de $\;E=U\oplus V$ de dos espacios vectoriales $U$ $V$ $$M=\begin{bmatrix} f_1&f_2\\g_1&g_2\end{bmatrix},\quad\text{donde}\quad\begin{array}{|ll} f_1\in \mathcal L(U,U),& f_2\in \mathcal L(U,V),\\ g_1\in \mathcal L(V,U),& g_2\in \mathcal L(V,V). \end{array}$$ Puede comprobar uno puede multiplicar dos matrices, multiplicación de los elementos de la composición lineal de los mapas.

Answer 2

Un uso común de las funciones de una matriz es la matriz Hessiana en el cálculo multivariable. Esta es una matriz de segundas derivadas con respecto a $x_1, x_2, \ldots$.

$$ M = \pmatrix{ \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x_1} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots }$$

Los valores propios de esta matriz se dice mucho acerca de la naturaleza de la función (mínimo, máximo, punto de silla) y otras propiedades como la estabilidad.

Answer 3

Aunque sólo sea la primera derivada de una función $$ f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$$ Es una matriz de funciones, si se definen $f$ su $m$ componente escalar de funciones de $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$, o como $$f(\vec{x})=(f_1(\vec{x}),....,f_m(\vec{x})) $$ with $$ \vec{x}=(x_1,....,x_n)$$ $$ Df(\vec{x})=\begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}&......&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}&......&\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}&......&\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} $$ Cada uno de los entires anteriormente, los parciales de las funciones de los componentes de $f$, son en sí mismos bonafide funciones. O, si te has hecho algún cálculo multivariable, las columnas son los gradientes de las funciones de los componentes.

Esto es lo que hace de álgebra lineal crucial para el estudio de cálculo multivariable. Si quieres hablar de aproximaciones lineales de los vectores de funciones con valores en algo más que el resumen, usted tiene que estar cómodo con matrices.

Answer 4

¿Alguna vez ponemos a funciones como entradas de una matriz?

Sí. No han sido pocos los ejemplos fantásticos dado, pero no estoy seguro de llegar al corazón de su pregunta.

Si es así, estas matrices que se utilizan en álgebra lineal, o si tienen algún otro uso especial?

La clave no es que las matrices con funciones (o funcionales o de agentes o vectores o matrices, etc...) como las entradas se utilizan en Álgebra Lineal, es que podemos usar Álgebra Lineal cuando la colección de los objetos matemáticos satisfacer ciertos requisitos.

En álgebra lineal de la clase, el uso de los números como las entradas de las matrices y vectores, pero el esfuerzo de ver esas matrices y vectores como objetos abstractos. Mediante el uso de números como entradas proporciona el contexto y desarrolla la intuición, como aprendizaje de la aritmética antes de álgebra.

Como para usos especiales, no puedo pensar en cualquier hilo común entre todos los diferentes usos de las matrices y vectores con funciones como entradas. Hay muy pocos.

Answer 5

Existen, por ejemplo, usted podría tener esta transformación lineal:

$L: \mathbb{P}_2\rightarrow M_{2\times 2}, f\rightarrow L(f):=\begin{pmatrix} f'(0) & f(1) \\ \int_{-1}^1f(s)\,ds& 0 \\ \end{pmatrix}$

El análisis funcional de los estudios de este tipo de matrices, creo. Aquí $\mathbb{P}_2$ representa el conjunto de todas las funciones polinómicas de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, de grado a lo más 2. La matriz que representa esta transformación lineal es una matriz hecha de funciones appied para algunos valores.

Otro ejemplo podría ser la matriz Jacobiana, o el Vector Gradiente (un vector, pero puede ser visto como una matriz)