¿Qué espacios son límites inversos de los espacios discretos?

Question

Existe el siguiente teorema:

"Un espacio $X$ es el límite inverso de un sistema de espacios finitos discretos, si y sólo si $X$ es totalmente desconectado, compacto y Hausdorff".

Un espacio discreto finito es totalmente desconectado, compacto y Hausdorff y todas esas propiedades pasan a los límites inversos. Supongo que la otra dirección podría demostrarse tomando el sistema de todas las descomposiciones de $X$ en conjuntos abiertos disjuntos. El límite inverso debería dar $X$ atrás.

Entonces, ¿qué pasa, si descarto la condición de finitud. Como se mencionó anteriormente todo límite inverso de los espacios discretos es totalmente desconectado, Hausdorff. Así que la pregunta es:

"¿Qué espacios de Hausdorff totalmente desconectados son límites inversos de espacios discretos?"

Por ejemplo, creo que es imposible escribir $\mathbb{Q}$ como un límite inverso de los espacios discretos, pero no tengo una prueba.

Answer 1

Estos son los espacios completamente ultrametrizables.

Recordemos que un d:E 2 →[0,∞) es una ultramétrica si

1. d(x,y) = 0 ↔ x = y
2. d(x,y) = d(y,x)
3. d(x,z) ≤ max(d(x,y),d(y,z))

Como es habitual, (E,d) es un espacio ultramétrico completo si toda secuencia de Cauchy converge.

Supongamos que E _∞ es el límite inverso de la secuencia E _n de espacios discretos, con f _n :E _∞ →E _n siendo los mapas límite. Entonces

d _∞ (x,y) = inf { 2 -n : f _n (x) = f _n (y) }

es una ultramétrica completa en E _∞ que es compatible con la topología del límite inverso.

A la inversa, dado un espacio ultramétrico completo (E,d), la relación x ∼ _n y definido por d(x,y) ≤ 2 -n es una relación de equivalencia. Sea E _n sea el cociente E/∼ _n con la topología discreta. Estos espacios tienen mapas de conmutación obvios entre ellos, dejemos que E _∞ sea el límite inverso de este sistema. El mapa que envía cada punto de E a la secuencia de sus ∼. _n clases de equivalencia es un mapa continuo f:E→E _∞ . Como E es completo, este mapa f es una biyección. Además, un simple cálculo muestra que esta biyección es de hecho un homeomorfismo. En efecto, con d _∞ definido como arriba, tenemos

d _∞ (f(x),f(y)) ≥ d(x,y) ≥ d _∞ (f(x),f(y))/2.

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Como ha señalado Pete Clark en los comentarios, la respuesta anterior es incompleta, ya que la pregunta no supone que el sistema inverso sea contable. Sin embargo, el caso general admite una caracterización similar en términos de uniformidades . A efectos de esta respuesta, digamos que un ultrauniformidad es una unformidad con un sistema fundamental de entourages que consiste en relaciones de equivalencia abiertas (por lo tanto clopen). Los espacios en cuestión son precisamente los espacios completos ultrauniformes de Hausdorff.

Supongamos que E es el límite inverso de los espacios discretos E _i con mapas límite f _i :E→E _i . Sin pérdida de generalidad, se trata de un sistema dirigido. Entonces los conjuntos U _i \= {(x,y): f _i (x) = f _i (y)} forman un sistema fundamental de entourages para la topología sobre E, cada uno de los cuales es una relación de equivalencia clopen sobre E. La propiedad universal de los límites inversos garantiza que E es completo y Hausdorff. En efecto, todo filtro de Cauchy sobre E define una secuencia compatible de puntos en los espacios E _i que es el límite único de este filtro.

A la inversa, supongamos que E es un espacio completo Hausdorff ultrauniforme. Si U es un entorno fundamental (por lo que U es una relación de equivalencia clopen en E) entonces el espacio cociente E/U es un espacio discreto ya que la diagonal es clopen. De hecho, E es el límite inverso de este sistema dirigido de cocientes. Es un buen ejercicio (para los estudiantes de Pete) mostrar que la completitud y la hausdorfidad de E aseguran que E satisface la propiedad universal de los límites inversos.

Answer 2

Los números racionales no son el límite inverso de una secuencia contable de espacios discretos, sino que los números racionales son de hecho el límite inverso de una colección incontable de espacios discretos.

Otra forma de ver que los números racionales no son un límite inverso de una secuencia contable de espacios discretos es observar primero que un límite inverso de una secuencia contable de espacios discretos es metrizable por una métrica completa. Por otra parte, todo subconjunto completamente metrizable de $\mathbb{R}$ es un $G_{\delta}$ -set [DUG p. 307]. Si $\mathbb{Q}$ fueran la intersección de un número contable de conjuntos abiertos $O_{n}$ , entonces cada $O_{n}$ sería denso haciendo $\mathbb{Q}$ de segunda categoría. Esto es una contradicción. Por lo tanto, $\mathbb{Q}$ no es completamente metrizable y no es el límite inverso de una secuencia de espacios discretos.

Los números racionales son, de hecho, un límite inverso de los espacios discretos. Primero hay que tener en cuenta que $\mathbb{Q}$ es Lindelof y regular, así que $\mathbb{Q}$ es realcompacto [WAL p. 41]. Otra forma de ver que $\mathbb{Q}$ es realcompacto es tomar nota de que $\mathbb{Q}$ es paracompacto y de cardinalidad inferior al primer cardinal medible. Además, como $\mathbb{Q}$ es Lindelof y de dimensión cero. $\mathbb{Q}$ es fuertemente nula[WAL p. 85]. Por lo tanto, como $\mathbb{Q}$ es real-compacto y fuertemente cero-dimensional, $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{N}$ -compacto[WAL p. 264]. Por lo tanto, ya que $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{N}$ -compacto, $\mathbb{Q}$ es el límite inverso de los espacios discretos[CHE].

Los espacios que son límites inversos de los espacios discretos son precisamente los espacios con una ultrauniformidad completa compatible como se ha señalado anteriormente. Llamaremos a un espacio topológico ultracompleto si se le puede dar una ultrauniformidad completa compatible. Sea $X$ sea un espacio de dimensión cero. Entonces dejemos que $\mathcal{U}$ sea la uniformidad generada por las relaciones de equivalencia $E$ tal que cada clase de equivalencia en $E$ es un conjunto cerrado. Entonces llamaremos $\mathcal{U}$ la ultrauniformidad fina en el espacio topológico $X$ . Se puede demostrar que un espacio de dimensión cero $X$ es ultracompleta si y sólo si $X$ es completa en la ultrauniformidad fina.

En otro orden de cosas, todo límite inverso de espacios discretos es un subespacio cerrado de un producto de espacios discretos [DUG p. 429]. Además, se puede demostrar fácilmente que a todo subespacio cerrado de un producto de espacios discretos se le puede dar una ultrauniformidad completa compatible, y por tanto los subespacios cerrados de productos de espacios discretos se pueden escribir como límites inversos de espacios discretos. Por tanto, los espacios representables como límites inversos de espacios discretos son los espacios representables como subespacios cerrados de productos de espacios discretos. Además, para espacios de cardinalidad inferior al primer cardinal medible, los espacios N-compactos se corresponden con los espacios representables como límites inversos de espacios discretos.

[CHE] Chew, Kim-Peu. "Espacios N-compactos como límites de sistemas inversos de espacios discretos". Journal of the Australian Mathematical Society 14.04 (1972): 467.

[DUG] Dugundji, James. Topology. Boston: Allyn and Bacon, 1966.

[WAL] Walker, Russell C. The Stone-Cech Compactification. Berlín: Springer-Verlag, 1974.

Answer 3

Los racionales Q no son un límite inverso de los espacios discretos. Supongamos que Q es el límite inverso de A _n con un mapa de cada A _n+1 a A _n . El límite inverso está formado por las secuencias infinitas que respetan estos mapas. Por lo tanto, es el conjunto de caminos infinitos a través del árbol de secuencias coherentes finitas. (Podemos restringir este árbol a las secuencias finitas que realmente se encuentran en una rama infinita). Dado que Q no tiene puntos aislados, este árbol restringido es un árbol de división y, por tanto, tiene un continuo 2 ω muchos caminos infinitos. Pero Q es contable, contradicción.

(Podemos suponer que el conjunto de índices del límite es ω, pasando a una secuencia cofinal ω, ya que Q es contable y no discreto).