Cómo calcular la suma de Riemann de $x^n$ para cualquier número entero positivo $n$ ?

Question

Estoy tratando de calcular la integral $$ \int_{0}^{1}{x^n}~dx $$ para cualquier número entero positivo dado $n$ utilizando SOLO las sumas de Riemann. Te agradecería mucho que me ayudaras. Gracias.

Answer 1

Una suma de Riemann para la integral es $$\frac{1}{m} \sum_{i = 1}^m \left(\frac{i}{m}\right)^n = \frac{1}{m^{n + 1}} \sum_{i = 1}^m i^n.$$ Esta suma viene dada por Fórmula de Faulhaber y es un polinomio de grado $n + 1$ en $m$ : $$ \sum_{i = 1}^m i^n = \frac{1}{n + 1} \sum_{j = 0}^n (-1)^j {{n + 1}\choose{j}} B_j m^{n + 1 - j} = \frac{1}{n + 1} m^{n + 1} + \cdots, $$ donde $B_j$ es el $j$ th Número de Bernoulli (pero resulta que todo lo que necesitamos saber aquí es que $B_0 = 1$ que da el primer término de las expresiones de la derecha).

Al tomar el límite como $m \to \infty$ para evaluar la integral, vemos que sólo el término principal del polinomio aporta algo: Por lo anterior, $$\sum_{i = 1}^m i^n = \frac{1}{n + 1} m^{n + 1} + r(m)$$ para algún resto $r(m)$ de grado $\leq n$ y así $$\int_0^1 x^n \,dx = \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m^{n + 1}} \sum_{i = 1}^m i^n = \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m^{n + 1}} \left[\frac{1}{n + 1} m^{n + 1} + r(m)\right] = \frac{1}{n + 1}.$$

Answer 2

Tome una partición de $[0,1]$ compuesto por $N$ segmentos iguales: $P = [0, 1/N, 2/N, ..., (N-1)/N, 1]$ . Entonces la suma superior de Riemann para $f(x) = x^n$ es

$$U(f,P) = \sum_{j=1}^N \frac{1}{N} \left(\frac{j}{N}\right)^n = \frac{1}{N^{n+1}} \sum_{j=1}^N j^n $$

Se puede escribir una expresión similar para la suma inferior de Riemann $L(f,P)$ . Pero como $f$ es continua, ya sabemos que las sumas superior e inferior serán iguales en el límite, así que quedémonos con la suma superior.

Ahora esa suma es un poco complicada: $$ \sum_{j=1}^N j^n = \frac{1}{1+n} N^{n+1} + \frac{1}{2} N^n + \frac{1}{n+1} \sum_{k=2}^n {p+1 \choose k} B_k N^{n+1-k}$$

donde el $B_k$ son números de Bernoulli. Dando por hecho esto, se puede ver que todos los términos de la suma de Riemann, excepto el primero, resultarán en potencias recíprocas de $N$ . Por lo tanto,

$$\lim_{N\to\infty} U(f,P) = \lim_{N\to\infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \frac{1}{N} + \frac{1}{n+1} \sum_{k=2}^n {p+1 \choose k} B_k \frac{1}{N^k} \right) = \frac{1}{n+1}$$