Bucles de topólogos frente a bucles de algebristas

Question

Sea X una variedad afín sobre ℂ. Consideremos X(ℂ) con la topología clásica, y creemos el espacio de bucles topológicos ΩX(ℂ) de mapas desde el círculo a X(ℂ). También se puede construir la ind-variedad X((t)), cuyos puntos R vienen dados por X(R((t)) para cualquier ℂ-álgebra R. Tomar los ℂ-puntos de esta ind-variedad, y darles la topología habitual. ¿Es el espacio topológico X((t))(ℂ) así definido homotópicamente equivalente a ΩX(ℂ)?

Edición: El comentario de David Ben-Zvi sobre el uso de bucles sin base en lugar de bucles con base es pertinente. Deberíamos considerar bucles sin base (L no Ω). Esto se comprueba en el caso de que $X=\mathbb{G}_m$ . El caso del grassmanniano afín también proporciona pruebas positivas.

Comentario (basado en los comentarios): Nótese que el espacio X((t)) no es el cambio de base de X a ℂ((t)). Tampoco es la restricción de los escalares, ya que $R\otimes \mathbb{C}((t))\neq R((t))$ en general. En cuanto a poner la topología clásica de X((t))(ℂ), no hay que asustarse por la indescriptibilidad. ℂ((t)) tiene una estructura natural de anillo topológico, y por tanto topologizamos X(ℂ((t)) de la manera habitual, tomando la topología del subespacio mediante una incrustación cerrada en el espacio afín n para algún n.

[párrafo redactado]

Answer 1

Aquí hay un ejemplo construido usando la idea de moonface sin salir del reino liso: Tomemos una curva afín $X$ cuyo modelo proyectivo liso $\overline{X}$ tiene el género $g > 0$ . Definir $S^1_a = \mathrm{Spec}(\mathbf{C}((t)))$ y $D^2_a = \mathrm{Spec}(\mathbf{C}[[t]])$ .

Reclamación: El mapa $X((t))(\mathbf{C}) \to LX$ no es una equivalencia homotópica. De hecho, ni siquiera es sobreyectiva en $\pi_0$ .

Prueba: La fibra (dividida) $\Omega(X) \to LX \to X$ muestra que $\pi_0(LX) = \pi_0(\Omega(X)) = \pi_1(X)$ . Por tanto, basta con demostrar que el mapa natural $X(S_a^1) \to \pi_1(X)$ no es sobreyectiva. Como $\pi_1(X) \twoheadrightarrow \pi_1(\overline{X})$ incluso basta con demostrar que no todos los elementos de $\pi_1(\overline{X})$ se realiza mediante un mapa $f:S^1_a \to X$ . Teniendo en cuenta esta $f$ el mapa compuesto $S^1_a \to X \to \overline{X}$ factores como un mapa $S^1_a \to D^2_a \to \overline{X}$ por el criterio valorativo. En particular, el mapa inducido sobre los grupos fundamentales es trivial como $D^2_a$ está simplemente conectado. Como $g > 0$ hemos terminado.

[ Parece que $\mathrm{Spec}(\mathbf{C}((t)))$ tiene una estructura de Hodge de tipo Tate y, en consecuencia, no puede detectar bucles excepto los de peso $0$ , es decir, las que provienen de la eliminación de los divisores. ¿Alguien sabe si la teoría de Hodge tiene sentido para objetos tan grandes? ]

Answer 2

Sólo un metacomentario sobre la respuesta de Bhargav: no siempre es cierto que $\pi_0(LX) = \pi_1(X)$ , es decir, cuando $X$ no está simplemente conectada (como es ciertamente el caso en este ejemplo). En general $\pi_0(LX)$ es el conjunto de clases de conjugación de elementos de $\pi_1(X)$ -- piensa en el isomorfismo de cambio de punto base en $\pi_1$ .

Sin embargo, esto no rompe el argumento: hay muchas clases de conjugación no triviales en $\pi_1(X)$ .

Answer 3

No entiendo muy bien todas las partes de la pregunta, pero esto es un poco largo para un comentario. Está motivado por uno de los comentarios de David Ben-Zvi más arriba. Si tomamos un grupo de Lie semisimple compacto, $G$ con centro trivial, entonces podemos considerar polinomio bucles en $G$ por incrustación $G$ en algún grupo matricial, por ejemplo a través de la representación adjunta en su álgebra de Lie complejizada, y considerando los bucles que son polinómicos en el álgebra matricial correspondiente. Entonces este espacio es equivalente en homotopía al espacio de bucles suaves en $G$ (no importa si tomamos basado o libre siempre que seamos coherentes). Esto se demuestra, por ejemplo, en el libro de Pressley y Segal Grupos de bucles (el enunciado exacto es la Proposición 8.6.6, pero por supuesto hay una considerable acumulación hasta llegar a ella). Y, por supuesto, suave es homotópicamente equivalente a continuo.

¿Es esto relevante para la pregunta?

Answer 4

Esto no es una respuesta, pero son mis pensamientos hasta ahora y espero que lleven a alguien a una respuesta correcta (de ahí la wiki de la comunidad). Mi vago recuerdo es que el espacio de bucles algebraicos sólo ve cosas "cerca" de los bucles constantes, lo que es coherente con los comentarios de moonface. Pido disculpas si estoy malinterpretando algo (soy uno de los topólogos en apuros). Básicamente quiero ver un ejemplo, que creo que aclarará la cuestión.

Tomemos $X = \mathbb{G}_m$ el grupo multiplicativo. Entonces $ \mathbb{G}_m(\mathbb{C}) = Spec \mathbb{C}[b, b^{-1}]$ . Como espacio analítico creo que esto es sólo $\mathbb{C}^\times$ Así que en el lado topológico obtenemos un interesante espacio de bucles. Tenemos una secuencia de fibración,

$$\Omega \mathbb{C}^\times \to L\mathbb{C}^\times \to \mathbb{C}^\times $$

y como topológicamente $\mathbb{C}^\times \simeq S^1$ Esto demuestra que $\pi_0(L \mathbb{C}^\times) \cong \mathbb{Z}$ . Esto es algo que deberíamos poder detectar si la versión algebraica del espacio de bucles es similar a la topológica, basta con contar el número de componentes.

Entonces, ¿cuál es el espacio algebraico del bucle en este caso? Bueno, supongo que por definición es $Spec \; \mathbb{C}((t))[b,b^{-1}]$ . Ahora recuérdame, ¿cómo convertimos esto en un espacio? y ¿cuántos componentes tiene?

Si tratas de tomar el $\mathbb{C}$ -de la misma, es decir, homomorfismos, $$ \mathbb{C}((t))[b, b^{-1}] \to \mathbb{C}$$ no te pongas $\mathbb{C}^\times$ ? Esto parece sugerir que se trata de un engrosamiento infinitesimal de los bucles constantes.

Answer 5

Aunque la respuesta a su pregunta es negativa en general, como se ha señalado antes, la respuesta es positiva para cierto tipo de bucle grupos . Esto se puede demostrar utilizando edificios gemelos topológicos. Véase Linus Kramer, Loop Groups and Twin Building. (No se dice muy explícitamente, pero la topología utilizada en el edificio gemelo y, por tanto, el grupo de bucles algebraico, se supone que es la ind-topología procedente de la descomposición de celdas de Bruhat).